一段历史

每一个学习数学的人一定都会知道 Reimann, 作为著名的数学家, 我们总能在各种地方见到他的名字. Reimann 在 1851 年获得了博士学位, 在 1854 年获得了讲师资格. 在德国的大学是这样的, 仅获得博士学位是不足以获得任教资格的, 还需要做出一份超越博士论文水平的研究成果——而 Reimann 的教授资格论文的选题是关于 Fourier 级数的.

这篇论文的题目是 Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (关于用三角级数表示一个函数的可能性). 这篇文章实际上解答了一个更大的问题, 即: 在什么情况下, 一个函数可以被表示为 $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx))}$? 也正是在这篇论文中, Reimann 首次提出并建立的Reimann 积分的概念.

这篇论文直到 Reimann 在 39 岁去世后的两年后, 1968年, 才在 Dedekind 的促进下被公开发表. 基于 Reimann 的研究成果, 在随后的几年里, 诞生了数篇重要的论文, 它们来自 Hankel, Heine, Cantor, 这些论文, 澄清了一致收敛的概念和可逐项积分的关系, 将函数可积性的问题转化为了对函数间断点集的研究(而这一研究为集合论的发展开拓了道路, 并进一步加深了数学领域对于实数集结构的认识).

5月22日, 双星陨落, “杂交水稻之父”袁隆平和”中国肝胆外科之父”吴孟超, 先后逝世. 袁隆平老先生可能距离我们每个人的生活更靠近一些, 所以今天这篇随笔, 就主要写写袁老, 以为悼念吧.

今天5月24日, 是袁隆平先生追悼会的日子. 这些天来, 关于袁老的各种新闻, 生平回忆报道, 回忆文章, 朋友圈悼念不在少数——一个人走了, 到了盖棺定论的日子了. 关于袁老的功绩, 人生, 我没有什么资格去评价, 大家都叫他”当代神农”, 我也认为这是名副其实的. 但我这段文字取名叫《忆袁隆平》, 确乎有些怪异——一者我非农学专业, 于三农亦无有什么贡献; 二者我亦不在现实生活中认识袁老, 未有交集; 三者一如大多数生活于城市之中的人一般, 不知自何年起已几乎未食过杂交水稻之粮——我忆袁隆平以何者?可起心着笔要写这文章时, 我确乎是要忆袁老的.

十里稻田, 记忆深处, 一缕稻香.

为了进一步提高自己的 research 与写作能力，东施效颦，学着优秀的学长们的方法，建立自己的research blog。 几经折腾，我的 research blog 今天正式上线了，点击这里访问或者通过点击本博客页面上 Research 分区进入。 这个新 Blog 将遵循以下方式写作与维护：

• 这个博客将会是全英文的，我建立它的一个重要目标就是锻炼自己的英文写作能力，尤其是学术英语的应用水平；
• 博客主题将限制在自己当前阶段的研究方向上（研究生阶段，复分析与调和分析方向）。目前的设想是写一些学习笔记，论文调研以及阅读的记录。这样也将方便自己日后快速找到所需的论文；
• 更遥远的将来，我也会将自己的一些工作，比如论文的预印本，对于一些 idea 的思考，放到这个博客中，希望和大家一起交流。

我决定建立的这个专注于学术的博客，主要原因与前辈学长的理由是一样的，可以说，我认为他所说的这个想法，对我来说也是非常有价值的:

• 加深自己的对相关研究领域的思考与认知。要完成一个高质量的写作任务，不仅仅是要磨练写作的技巧，更重要的是在写作过程中重塑自己的思想，加深自己思考的深度。 另外，为了写好调研文章，需要有大量的阅读作为基础，这就可以倒逼自己阅读大量的论文。 按照我之前的经验，阅读一篇论文之后，如果和自己的研究方向差距比较大，其实很快就会忘记了。 但是，通过进行调研写作，能很大程度上给自己的大脑留下更多的印象。 当将来遇到类似的问题的时候，不会显得不知所措了。
• 维护这样一个research blog，必定需要付出不少的精力。毕竟我们对它的定位是一个职业的、客观的学术博客，不能像普通的博客一样那么随性，想到什么就写什么。 为了写好每一篇博文，我需要进行大量的准备工作。 即使是这样，我还是相信这样做是有意义的。我需要这样一个工具或者平台，来倒逼自己更加努力的工作。

Aug 1st

今天“八·一”, 致敬中国军人.

不过我在想的还有另外一件老生常谈的事, 叫做 “刻奇”. 八一大家都在致敬军人, 军人也为自己的奉献而感到自豪与荣光, 里面有多少是发自内心的真情实感, 又有多少是”为自豪而自豪”, “为感动而感动”的刻奇呢? 我的圈子里军人不少, 谈起军队, 有人骄傲, 有人抱怨, 有人无奈, 有人也一直豪情澎湃. 是自己熟知的好友, 有多少真性情, 多少还是能够感受的到. 真心对日复一日的军事训练, 对军事武器, 对战争喜欢并投入的几位, 我时常会恍惚间在他们身上看到一点人性之光——没有多伟大, 就是一种诚挚的情感带来的感动.

说回自己学数学, 突然反思起自己大学以来对于这门学科的感情究竟是否真的那么真挚? 毕竟太多的人听说你是学数学的, 都常常感叹一句:”聪明人啊!”,”好厉害啊!”, “大神啊!” etc.

还好还好, 来自”外行人”的”吹捧”带来的虚无的快感在我学习数学的过程中占比极少, 我大概还能够不太心虚的说: 我是一个对数学有真挚热爱的人.

任意给出平面上的一条可求长曲线, 比如, 我们在纸上随手画的一条的曲线, 在不知道这条曲线具体的方程的情况下, 有没有什么简单的好办法能够比较精确的估计这条曲线的长度呢? 这里给出一个方法, 让我们数交点数量, 就能估计曲线长度.

可求长曲线长度的近似估计

具体操作

我们按照以下步骤来做:

• 以某一固定的间距 $r$ 画出一族平行线;
• 将这一族平行线旋转 $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{4}$, 这样我们一共得到四族平行线;
• 数出这四族平行线与待求长曲线的交点数量 $n$;
• 按如下公式计算曲线近似长度 $$L = \frac{1}{2}nr\frac{\pi}{4}.$$

作为数学的一个简单的在物理上应用的例子, 这里我们写一写爱因斯坦狭义相对论中的洛伦兹变换的推导. 关于狭义相对论的具体物理理论、背景和发展, 参考 Wiki-狭义相对论.

11 月 1 日

今日读到王小波的一些只言片语, 觉着, 他把科学的乐趣说的真是明白:

不断地学习和追求, 这可是人生在世最有趣的乐事啊, 要把这件趣事从生活中去掉, 倒不如把我阉了.

11 月 2 日

一直有人问我, 数学究竟有什么好的, 值得我这么陶醉. 恩, 说起来, 我不是天才也未见天赋, 能不能有学术成就不知道, 可我知道一件事: 每一个真正热爱科学的人, 坚持学习探索的动机, 是希望能够理解我们的来源, 能够窥探世界的变化规律.

2. 尝试证明黎曼猜想的努力–发现新世界(续上篇)

上回写道, 希尔伯特的这篇演讲拉开了未来一个多世纪数学发展的大幕, 而关于黎曼猜想, 也开始了一段跨越百年的故事. 续篇就从算零点开始讲起.

1) 计算机验根

[手算零点]

回到黎曼的那篇论文, 黎曼的文风真的是言简意赅. 一句废话, 多一个字都不愿多说, 不但论文中的许多命题黎曼都没有给出证明, 而且我们一直提到非平凡零点, 但在论文中却没有任何相关的计算 也没给出任何具体的零点值. 黎曼猜想的零点究竟在哪呢?

直到 1903 年, 丹麦数学家格拉姆通过好几年的计算, 才第一次得到并公布了前 15 个非平凡零点的计算值, 数学界在也是几十年来第一次真正看到这些蕴含着素数分布秘密的零点, 而不出意料, 它们都乖乖的分布在黎曼所画的”临界线”上. 之后, 到 1914 年数学家巴克伦才将计算推进到第 79 个零点, 在经过一批杰出数学家, 诸如哈代, 李尔伍德等人的努力, 在1925 年才计算出了前138 个零点. 而这时候零点的计算因为受到方法的限制, 已经复杂到几乎无法进行下去的程度了.

引子: 背景

对数学爱好者来说, 这段时间最轰动的新闻是 89 岁的数学家阿蒂亚爵士 (Sir Michael Francis Atiyah) 宣称证明了已有 159 年历史的黎曼猜想 (黎曼Hypothesis). 9 月 24 日在有数十位菲尔兹奖和图灵奖得主参加的海德堡获奖者论坛 (Heidelberg Laureate Forum) 上, 阿蒂亚爵士报告了自己的证明. 阿蒂亚爵士是一位功绩卓著的数学家, 在过去半个多世纪里拿下了大量崇高奖项, 其中包括有数学诺贝尔奖之名的菲尔兹奖和数学终生成就奖的阿贝尔奖。

1900年代, 曾有人问著名的数学家希尔伯特:”如果在你死后 500 年, 你有一次转世重生的机会, 你最希望看到什么?” 希尔伯特回答说:”我希望看到黎曼猜想被证明”. 而英国著名数学家哈代也曾开玩笑说:”如果真的有上帝, 他要我立刻死去, 但能满足我一个交换条件, 我希望是看一眼黎曼猜想的证明.”

• 这篇文章的主角, 就是这个让包括希尔伯特, 哈代, 到阿蒂亚爵士在内, 159年来的众多数学家为之沉醉, 不懈努力的: 黎曼猜想.