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复分析小品-生成函数

复分析小品-生成函数

关于生成函数, 以下直接引用 wiki 百科上的介绍:

In mathematics, a generating function is a way of encoding an infinite sequence of numbers ($a_n$) by treating them as the coefficients of a formal power series. This series is called the generating function of the sequence.

Unlike an ordinary series, the formal power series is not required to converge: in fact, the generating function is not actually regarded as a function, and the “variable” remains an indeterminate. Generating functions were first introduced by Abraham de Moivre in 1730, in order to solve the general linear recurrence problem. One can generalize to formal power series in more than one indeterminate, to encode information about infinite multi-dimensional arrays of numbers.

正如这段介绍中所说, 生成函数就是描述数列的另一种不同的方法而已, 这种方法将整个序列视作了一个对象进行考虑, 更具体的说, 就是个幂级数, 其系数有着某些特定含义.

作为一篇小品, 本文只简单介绍一下生成函数定义, 并利用该方法研究斐波那契数列.

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复分析小品-分式线性变换

复分析小品-分式线性变换

在复分析中的几何理论中, 有一个有趣而且重要的主题, 即共形映射. 其中有一类很自然的解析函数类——分式线性变换.

考虑以下有理函数

$$f(z) = \frac{az+b}{cz+d}$$

其中,$a,b,c,d$ 均为复数. 要使得以上函数具有良好的定义, 很自然, 需要要求 $c,d$ 不能同时为 $0$; 另一方面, 为了保证函数不会退化成常数函数, 则需要满足 $a/c \neq b/d$.

综合来说, 当以上有理函数满足 $ad-bc\neq 0$ 时, 我们称之为一个分式线性变换. 我们都知道:

  • 分式线性变换的复合还是一个分式线性变换变换.
  • 任何分式线性变换都可以表示为三种简单变换的复合, 即:平移、旋转、反演的复合.

关于分式线性变换的很多性质, 留到谈共形映射时再谈. 以下提供一个有意思的视角, 也许能帮助我们更容易的认识分式线性变换.

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线性代数-矩阵基础-3

矩阵的秩

矩阵的秩,是用于描述矩阵的一个重要的性质,它由行(列)向量组的极大线性无关组中包含的向量的个数来定义, 描述了矩阵的行(列)向量空间的维数. 关于一个矩阵 $A$ 的秩,有一点重要基本的性质:

**【定理】** 初等变换不改变矩阵的秩.进一步的,初等行(列)变换不改变矩阵任意列(行)之间的线性相关性.
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线性代数-矩阵基础 2

继续线性代数矩阵部分的笔记。

矩阵的初等变换与分块运算

**定义**【初等变换】 以下三种对矩阵的操作, 每一种都称为对矩阵的进行的一次 **初等变换**. - 将矩阵的一行(列)与另一行(列)交换位置; - 将矩阵的某一行乘以一个非零倍数; - 将矩阵的一行(列)加到另一行(列)上去.

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 关于初等矩阵有以下性质:

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线性代数-矩阵基础 1

从1858年 Cayley 建立起矩阵及其运算以来, 矩阵理论迅速的建立了起来. 矩阵论是数学中内容最丰富, 应用最广泛的部分之一. 矩阵是线性代数中最重要的工具, 贯穿于线性代数的始终. 矩阵论在航空航天, 军事, 信息处理, 人工智能, 金融, 生命科学, 社会科学等很多的领域都有非常重要的作用.

这一部分的笔记将对矩阵理论中的核心内容以及方法进行总结和复习. 假设本笔记的读者, 对于笔记中出现的各种概念并不陌生, 而矩阵定义以及一些运算(加法、乘法、转置)作为基本知识将不在此重述, 笔记将按照一个个独立的知识点组织. 对于一个点的相关知识和方法, 将来自于整个线性代数课程, 以使读者能够综合应用, 融会贯通.

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分析之【一元微分学】

这一部分主要集中讨论定义在闭区间上的一元实函数.

导数定义与性质

在此先给出定义在$\mathbb{R}$的子集上的可微函数的定义, 并给出计算导数的基本法则.

[定义][导数]

令$D\subset \mathbb{R}$,称函数$f:D\rightarrow \mathbb{R}$在点$x_0\in D$可微, 若满足:$$f’(x_0):= \lim_{\small\begin{array}{c}
x \rightarrow x_0 \
x \in D\setminus {x_0}\end{array}}
\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=
\lim_{\small\begin{array}{c}
h \rightarrow 0\
h \neq 0\
x_0 +h\in D\end{array}}
\frac{f(x_0 +h)-f(x_0)}{h}$$
存在. 有时也用符号$\frac{df}{dx}(x_0)$替代$f’(x_0)$, 称为函数$f$在点$x_0$处的\textbf{导数(微商)}.
若$\forall x \in D$, $f$皆可微, 则称函数$f$在$D$上是可微的.

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微积分之数列与级数

序列与极限

这里我们快速的过一遍关于数列与级数的这一些基础的内容.这些内容在复数域 $\mathbb{C}$ 上都是成立的.

度量空间 $X$ 中的序列 ${ x_n }$ 称收敛的, 当 $\exists x \in X$, $\forall \varepsilon >0$, $\exists N\in \mathbb{N}_+ $, $d(x_n, x)<\varepsilon$. 我们说序列 ${ x_n }$ 收敛于 $x$.记为
$$\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n} = x.$$
如果序列不收敛, 我们称其为发散的.

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Review - $\mathbb{R}^{n}$ 上的拓扑(2)

继续上一篇笔记, 接下来关注两个重要的拓扑性质——极限连续.

连续

从拓扑结构出发刻画 连续

关于一般拓扑空间的连续性, 有多个等价定义和命题[1], 这里暂且只提最基本的一个.

从拓扑空间 $(X,\mathscr{T})$ 到拓扑空间 $(Y,\mathscr{U})$ 内的映射 $f$ 称为连续的, 当且仅当对于 $\mathscr{U}$ 中的每一个开集, 其在 $\mathscr{T}$ 中的原像为开集; 每一个闭集, 其在 $\mathscr{T}$ 中的原像为闭集.

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Review - $\mathbb{R}^n$ 上的拓扑(1)

这篇笔记主要内容是回顾 $\mathbb{R}^n$ 上的拓扑. 事实上,这里是要对由度量诱导的 $\mathbb{R}^n$ 的度量空间上的拓扑进行总结. 对于一般的拓扑空间(不依赖特定度量的性质)的拓扑性质, 更为详细的内容, 可以参考任意一本《点集拓扑学》或《一般拓扑学》之类的讲义. 事实上, 度量空间上的极限, 连续性, 和紧性都是空间拓扑性质的例子.

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Review-微积分之【函数定义】

Mathematics links the abstract world of mental concepts to the real world of physical things without being located in completely in either.
**Ian Stewart** — Preface to second edition of *What is Mathematics?* by **Richard Courant** and **Herbert Robbins**, revised by **Ian Stewart** (1996).

说到微积分, 就要说到微积分所研究的主要对象——函数. 整个大千世界, 到处都是函数关系, 所以我们研究函数的目的不是为了纯理论的思辨, 而恰恰是我们对于理解世界的渴望, 对于各种经济利益的追求, 驱动着我们.

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