数学分析习题解-序列极限(3)

【习题来源】数学分析:第七版.(俄罗斯)卓里奇著;李植译. 北京:高等教育出版社,2019.2

  1. 请证明
  • a) 当 $n\leqslant 2$ 时, 以下等式成立: \begin{array}{l} & 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\frac{1}{n!n}\\ = & 3 - \frac{1}{1\cdot 2\cdot 2!}-\cdots -\frac{1}{(n-1)n\cdot n!}.\end{array}
  • b) $$e = 3 - \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+2)!}.$$
  • c) 为近似计算 $e$, 公式 $$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\frac{1}{n!n}$$ 远好于原来的公式 $$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}.$$
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数学分析习题解-序列极限(2):连分数

【习题来源】数学分析:第七版.(俄罗斯)卓里奇著;李植译. 北京:高等教育出版社,2019.2

  1. 表达式 $$n_1 + \frac{1}{n_2 + \frac{1}{\begin{matrix} n_3 + \ddots & \\ & \frac{1}{n_{k-1}+\frac{1}{n_k}}\end{matrix}}},$$其中 $n_i\in\mathbb{N}$, 称为链式分数或有限连分数, 而表达式 $$n_1 + \frac{1}{n_2 + \frac{1}{n_3 + \ddots}}$$称为无穷连分数. 在一个连分数中去掉某个链开始的所有分数, 所得分数称为这个连分数的渐进分数. 无穷连分数的渐进分数序列极限是该无穷连分数的值.
    关于连分数的基本性质, 参考 Continued Fraction.
    请证明:
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数学分析习题解-序列极限(1)

数学分析习题解-序列极限(1)

【习题来源】数学分析:第七版.(俄罗斯)卓里奇著;李植译. 北京:高等教育出版社,2019.2

习题

  1. 请证明:数 $x\in \mathbb{R}$ 是有理数的充要条件是,它在任何 q-进制计数法中是循环的,即从某一位数开始,它由一组周期性重复的数码组成。

【证明】 充分性: 若 $x$ 在任意 q-进制下是循环的, 设循环节长度为 $k$, 显然 $n = q^k x - x$ 为有限小数, 即 $n$ 为有理数, 那么由有理数对四则运算的封闭性, 可知 $x$ 也是有理数.

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