虎头微分同学的Blog
2023-05-31T07:13:23.920Z
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经典等周问题的复分析证明
https://zengfk.com.cn/2023/05/31/%E7%BB%8F%E5%85%B8%E7%AD%89%E5%91%A8%E9%97%AE%E9%A2%98%E7%9A%84%E5%A4%8D%E5%88%86%E6%9E%90%E8%AF%81%E6%98%8E/
2023-05-31T05:54:38.000Z
2023-05-31T07:13:23.920Z
<h2 id="关于等周不等式的历史"><a href="#关于等周不等式的历史" class="headerlink" title="关于等周不等式的历史"></a>关于等周不等式的历史</h2><p>直接引用文献中对于等周问题的介绍:</p>
<blockquote>
<p>最早的几何不等式应该是著名的等周不等式, 该不等式具有悠久的历史. 等周问题最早由著名数学家 Joham Beynoulli 在 1679 年提出, 从等周定理的提出到现在, 人们关于等周问题的研究讨论从未停止过, 研究成果不断的推陈出新, 使得等周型不等式的研究领域欣欣向荣, 可以说等周定理是数学史上被证明次数最多的定理之一…</p>
<p>从实用性的角度来看, 在数学家正式提出等周定理之前, 人类乃至动物界已经在不自觉地使用这个定理了, 比如:人们使用定长的绳子圈地的过程中, 当绳子以圆形的方式圈地时, 得到的土地面积最大; 在寒冷的冬季, 人类或者动物会缩成一团, 为的就是在体积一定的情况下, 尽量缩小自己的表面积, 减小热量的损失;在物理中, 等周不等式问题和跟所谓的最小作用量有关, 一个直观的表现就是水珠的形状, 在没有外力的情况下(如失重的太空舱里), 水珠的形状是完全对称的球体, 这是因为当水珠体积一定时, 表面张力会迫使水珠的表面积达到最小值, 根据等周不等式的原理, 最小值在水珠形状为球状时达到…</p>
</blockquote>
<p>等周不等式的一个经典的证明是利用变分方法, 本文中介绍由复分析, 调和分析领域著名数学家 Carleman 给出的复分析证明. 由此出发, 也引出了一系列函数空间理论上的问题之研究.</p>
复分析学习笔记 - Littlewood 从属定理
https://zengfk.com.cn/2023/05/25/%E5%A4%8D%E5%88%86%E6%9E%90%E5%AD%A6%E4%B9%A0%E7%AC%94%E8%AE%B0-Littlewood-%E4%BB%8E%E5%B1%9E%E5%AE%9A%E7%90%86/
2023-05-25T13:56:19.000Z
2023-05-25T15:41:08.200Z
<h2 id="从属性"><a href="#从属性" class="headerlink" title="从属性"></a>从属性</h2><p>首先介绍函数从属性的概念. 这一概念,最早来自于 Lindelöf 在 1908 年给出的一个定理, 现在常称为 Lindelöf 原理. </p>
<p>我们设 $f, g$ 均为 $\mathbb{D}$ 中的解析函数. 若存在解析函数 $\varphi: \mathbb{D}\rightarrow \mathbb{D}$, 使得 $\varphi(0) = 0$ 且 $f = g\circ \varphi$ 对于一切 $z\in \mathbb{D}$ 均成立, 则称 <strong>$f$ 从属于 $g$</strong>, 记为 $f\prec g$.</p>
<p>事实上, 设 $g(z)$ 为 $\mathbb{D}$ 上的单叶解析函数, 满足$g(0) = 0$. 再设 $f(z)$ 为 $\mathbb{D}$ 上的解析函数, 其满足$f(0) = 0$, 并且 $f$ 的值域落在 $F$ 的值域中. 于是函数 $\varphi(z) = g^{-1} \circ f$ 是 $\mathbb{D}$ 上良定的解析函数, 并且满足 $\varphi(0) = 0$, 以及 $|\varphi(z)|\leqslant 1$. 由 Schwarz 引理, 上述条件等价于要求: $|\varphi(z)|\leqslant |z|$ 且 $f = g\circ w$ 对于一切 $z\in \mathbb{D}$ 均成立. </p>
<blockquote>
<p>几何直观上看, $f\prec g$ 意味着对任意的闭圆盘 $\overline{D(0,r)}, r\in(0,1)$ 在 $f = g\circ \varphi$ 作用下的像, 都落在 $g$ 对同一个圆盘作用的像中. 也可以说, 在某种意义下, $f$ 比 $g$ 要”小”. 而 Littlewood 从属定理正是对这一事实的精确表述.</p>
</blockquote>
三圆定理
https://zengfk.com.cn/2022/12/20/%E4%B8%89%E5%9C%86%E5%AE%9A%E7%90%86/
2022-12-20T01:28:57.000Z
2023-03-25T01:57:53.953Z
<h2 id="凸函数"><a href="#凸函数" class="headerlink" title="凸函数"></a>凸函数</h2><p>可进一步参考<a href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/Convex_function_(of_a_real_variable)">Convex Function of a Real Variable</a> 以及 <a href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/Convex_function_(of_a_complex_variable)">Convex Function of a Complex Variable</a>.</p>
<blockquote>
<p>Definition.<br>$I$ 为区间, 函数 $f: I\rightarrow \mathbb{R}$ 称为(下)<strong>凸函数</strong>, 若 $\forall x_1, x_2 \in I$ (不妨设$x_1 < x_2$), $\forall t\in (0,1)$, 有以下不等式成立:<br>$$f((1-t)x_1+tx_2) \leqslant (1-t)f(x_1) + tf(x_2).$$<br>集 $A\in \mathbb{C}$ 称为<strong>凸集</strong>, 若 $\forall z,w \in A$, $\forall 0\leqslant t\leqslant 1$, 点 $tz + (1-t)w \in A$.</p>
</blockquote>
<p>$f(x)$ 为凸函数的条件可以等价的写成: $\forall x_1, x_2, x_3\in I$, 满足 $x_1 < x_3 < x_2$, 有<br>$$\begin{equation}<br> (x_2 - x_1) f(x_3) \leqslant (x_2 - x_3) f(x_1) + (x_3 - x_1) f(x_2).<br>\end{equation}$$<br>上式也可以写成<br>$$\begin{equation}<br> \left|\begin{matrix}<br> f(x_1) & x_1 & 1 \\<br> f(x_2) & x_2 & 1 \\<br> f(x_3) & x_3 & 1 \\<br> \end{matrix}\right| \geqslant 0<br>\end{equation}$$</p>
<p>凸函数(Convex)的几何意义是明显的. 即其上任意两点的连线, 必然位于两点之间函数图像的上方. 相对应的, 不等号反向的情况下称其为 Concave (上凸).</p>
泛函中的重要定理之 Hahn-Banach 定理
https://zengfk.com.cn/2022/07/15/%E6%B3%9B%E5%87%BD%E4%B8%AD%E7%9A%84%E9%87%8D%E8%A6%81%E5%AE%9A%E7%90%86%E4%B9%8B-Hahn-Banach-%E5%AE%9A%E7%90%86/
2022-07-15T11:00:56.000Z
2022-09-15T12:28:50.239Z
<blockquote>
<p>个人学习笔记整理而来, 内容如有错漏欢迎电邮联系. a collection of personal math notes.</p>
</blockquote>
<p>Hahn-Banach Theorem is one of the core theorems of linear functional analysis. The Hahn-Banach Theorem in <em>Vector Space</em> is also called <em>Analytic Form of Hahn-Banach Theorem</em>. Two corollaries are especially important: Hahn-Banach Theorem in Normed Vector Space, and Geometric Form of Hahn-Banach Theorem.</p>
<h2 id="Analytic-Form"><a href="#Analytic-Form" class="headerlink" title="Analytic Form"></a>Analytic Form</h2><blockquote>
<p><strong>定理.[Hahn-Banach Theorem in Real Vector Space]</strong></p>
<p>Let $X$ be a real vector space, and $p$ is a <em>sublinear functional</em> in $X$, that is, $p:X\rightarrow\mathbb{R}$ is a function satisfies the following properties:</p>
<p>$$\begin{eqnarray}p(\alpha x) = \alpha p(x),\quad \forall \alpha>0 \text{ and } x\in X,\\p(x+y) \leqslant p(x)+p(y)\quad \forall x,y\in X.\end{eqnarray}$$<br>And let $Y$ be a subspace of $X$, $l:Y\rightarrow\mathbb{R}$ is a linear functional in $Y$ which satisfies<br>$$l(y)\leqslant q(y),\quad \forall y\in Y.$$<br>Then there exists a linear functional $\widetilde{j}:X\rightarrow\mathbb{R}$, such that<br>$$\widetilde{l}(y)=l(y),\quad \forall y\in Y.\quad \text{ and } \widetilde{l}(y)\leqslant p(x),\quad \forall x\in X.$$</p>
</blockquote>
关于连通性的简单讨论
https://zengfk.com.cn/2022/04/15/%E5%85%B3%E4%BA%8E%E8%BF%9E%E9%80%9A%E6%80%A7%E7%9A%84%E7%AE%80%E5%8D%95%E8%AE%A8%E8%AE%BA/
2022-04-15T10:00:22.000Z
2022-09-15T11:26:50.557Z
<blockquote>
<p>说明. 本文为以前学习拓扑学时的部分笔记, 现发布于博客中供参考备忘. 若有读者发现错漏之处, 敬请电邮联系更正.</p>
</blockquote>
<h2 id="Recall-连通性的基本概念"><a href="#Recall-连通性的基本概念" class="headerlink" title="Recall: 连通性的基本概念"></a>Recall: 连通性的基本概念</h2><blockquote>
<p>【定义】[连通性] $X$ 为一拓扑空间. 若 $X$ 的一对<strong>非空开子集</strong> $U,V$ 满足 $U\cap V = \varnothing, U\cup V =X$, 则称 $U,V$ 是分离的, 它们构成 $X$ 的一个分解. 若 $X$ 存在这样的分解, 则称 $X$ 是<strong>不连通的</strong>, 否则称为<strong>连通的</strong>.</p>
</blockquote>
<p>关于连通性有以下等价描述:</p>
<blockquote>
<p>空间 $X$ 是连通的, 当且仅当除了 $X$ 自身和 $\varnothing$ 外, 不存在其他既开又闭的子集.</p>
</blockquote>
<p><strong>Note.</strong> 由于连通性的定义仅涉及到一族开子集之间的关系, 显然, 这个概念是一个拓扑概念. 事实上, <strong>连通性具有遗传性, 同时在连续映射, 有限积下依然保持</strong>.</p>
关于积拓扑和 Tychonoff 定理
https://zengfk.com.cn/2022/03/21/%E5%85%B3%E4%BA%8E%E7%A7%AF%E6%8B%93%E6%89%91%E5%92%8C-Tychonoff-%E5%AE%9A%E7%90%86/
2022-03-21T05:54:37.000Z
2022-04-29T07:30:28.917Z
<blockquote>
<p><em>说明. 本文为以前学习拓扑学时的部分笔记, 现发布于博客中供参考备忘. 若有读者发现错漏之处, 敬请电邮联系更正.</em></p>
</blockquote>
<p>首先在集合的层次上讨论积的概念, 然后再转向考虑积拓扑空间, 最后讨论了积空间紧性的问题.</p>
<h2 id="集族的笛卡尔积"><a href="#集族的笛卡尔积" class="headerlink" title="集族的笛卡尔积"></a>集族的笛卡尔积</h2><p><strong>Note.</strong> 有限个集合的笛卡尔积被定义为有序数组的形式 $(x_1,\cdots,x_n)$, 其中 $x_{i} \in X_{i}$. 也可以将其视为一族 $X_1\times\cdots\times X_2$ 上的映射<br>$$\left\{x:{1,\cdots,n}\rightarrow X_1\cup\cdots\cup X_n\mid x(j)\in X_{j}, \forall j = 1,\cdots,n \right\}.$$<br>这个形式方便我们将笛卡尔积推广到一般的集族的情况上.</p>
为函数空间赋予拓扑结构 - 一些例子
https://zengfk.com.cn/2021/12/28/%E4%B8%BA%E5%87%BD%E6%95%B0%E9%9B%86%E5%90%88%E8%B5%8B%E4%BA%88%E6%8B%93%E6%89%91%E7%BB%93%E6%9E%84%20-%20%E4%B8%80%E4%BA%9B%E4%BE%8B%E5%AD%90/
2021-12-28T07:33:15.000Z
2021-12-28T15:19:15.309Z
<p>对于函数空间, 在需要研究其某些特定的性质时, <strong>对于这个空间赋予适当的拓扑结构, 是非常有用的一种方法</strong>. 一个常见的方面就是: 通过其拓扑在给定的义意下讨论函数族收敛的概念. </p>
<p>在线性泛函分析学习中学过的赋范线性空间, 就是通过对空间赋予范数来引入拓扑结构–由范数可以自然的诱导相应的度量, 度量则给出了空间的拓扑结构. 当然, 并非所有的函数空间的拓扑结构都可以由范数给出, 于是我们有更一般的关联于所谓半范数族的拓扑线性空间. </p>
$L^p$ 空间基本知识1-关于 Lebesgue 积分的一些结论
https://zengfk.com.cn/2021/12/21/L-p%E7%A9%BA%E9%97%B4%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%9F%A5%E8%AF%861-%E5%85%B3%E4%BA%8E-Lebesgue-%E7%A7%AF%E5%88%86%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%BA%9B%E7%BB%93%E8%AE%BA/
2021-12-21T00:00:10.000Z
2021-12-21T03:06:57.335Z
<blockquote>
<p>本Note收纳一些重要的关于 Lebesgue 积分的一些结论. 这里 $\Omega$ 总表示 $\mathbb{R}^n$ 中的开集, 具有 Lebesgue 测度 $dx$; $L^1(\Omega)$ 表示 $\Omega$ 上的可积函数空间.</p>
</blockquote>
<h3 id="Beppo-Levi-单调收敛定理"><a href="#Beppo-Levi-单调收敛定理" class="headerlink" title="Beppo Levi 单调收敛定理"></a>Beppo Levi 单调收敛定理</h3><p>设 ${f_n}$ 是 $L^1$ 中的递增序列(即 $\forall n, f_n\leqslant f_{n+1}~ a.e.$) 使得<br>$$\sup_{n}\int f_n <\infty,$$<br>那么 $f_n(x)$ 在 $\Omega$ 上几乎处处收敛, 记为 $f(x)$; 更进一步有 $f\in L^1$ 且 $|f_n- f|_{L^1}\rightarrow 0$.</p>
<h3 id="Legesgue-控制收敛定理"><a href="#Legesgue-控制收敛定理" class="headerlink" title="Legesgue 控制收敛定理"></a>Legesgue 控制收敛定理</h3><p>设 ${f_n}$ 是 $L^1$ 中的函数序列. 假设</p>
<p>a) $f_n(x)\rightarrow f(x)$ a.e. 收敛于 $\Omega$ 中,</p>
<p>b) 存在函数 $g\in L^1$, 使得每个 $n$, $|f_n(x)|\leqslant g(x)$, a.e. 于 $\Omega$ 中.</p>
<p>则 $f\in L^1(\Omega)$, 并且 $|f_n-f|_{L^1}\rightarrow 0$.</p>
学习 Galois 理论须知的群论概念
https://zengfk.com.cn/2021/12/20/%E5%AD%A6%E4%B9%A0-Galois-%E7%90%86%E8%AE%BA%E9%A1%BB%E7%9F%A5%E7%9A%84%E7%BE%A4%E8%AE%BA%E6%A6%82%E5%BF%B5/
2021-12-20T02:15:23.000Z
2021-12-21T02:37:17.862Z
<blockquote>
<p>内容节选自 from J. Rotman’s <em>Galois Theory</em> - Appendix 1. 仅供学习时备忘使用.</p>
</blockquote>
<p><strong>Abelian Group.</strong> A group in which multiplication is commutative.</p>
<p><strong>Alternating Group $A_n$.</strong> The subgroup of $S_n$ consisting of all the even permutations. it has order $\frac{1}{2}n!$.</p>
<p><strong>Associativity.</strong> For all $x,y,z$, one has $(xy)z=x(yz)$. it follows that one does not need parentheses for any product of three or more factors.</p>
<p><strong>Automorphism.</strong> An isomorphism of a group with itself.</p>
<p><strong>Commutativity.</strong> For all $x,y$, one has $xy=yx$.</p>
历史上的例子:在无穷多个点间断但仍然可积的函数
https://zengfk.com.cn/2021/08/12/%E5%8E%86%E5%8F%B2%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%BE%8B%E5%AD%90%EF%BC%9A%E5%9C%A8%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%A4%9A%E4%B8%AA%E7%82%B9%E9%97%B4%E6%96%AD%E4%BD%86%E4%BB%8D%E7%84%B6%E5%8F%AF%E7%A7%AF%E7%9A%84%E5%87%BD%E6%95%B0/
2021-08-12T03:31:47.000Z
2021-08-12T04:17:33.275Z
<h2 id="一段历史"><a href="#一段历史" class="headerlink" title="一段历史"></a>一段历史</h2><p>每一个学习数学的人一定都会知道 Reimann, 作为著名的数学家, 我们总能在各种地方见到他的名字. Reimann 在 1851 年获得了博士学位, 在 1854 年获得了讲师资格. 在德国的大学是这样的, 仅获得博士学位是不足以获得任教资格的, 还需要做出一份超越博士论文水平的研究成果——而 Reimann 的教授资格论文的选题是关于 Fourier 级数的. </p>
<p>这篇论文的题目是 <em>Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (关于用三角级数表示一个函数的可能性)</em>. 这篇文章实际上解答了一个更大的问题, 即: <strong>在什么情况下, 一个函数可以被表示为 $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx))}$?</strong> 也正是在这篇论文中, Reimann 首次提出并建立的<strong>Reimann 积分</strong>的概念.</p>
<p>这篇论文直到 Reimann 在 39 岁去世后的两年后, 1968年, 才在 Dedekind 的促进下被公开发表. 基于 Reimann 的研究成果, 在随后的几年里, 诞生了数篇重要的论文, 它们来自 Hankel, Heine, Cantor, 这些论文, 澄清了一致收敛的概念和可逐项积分的关系, 将函数可积性的问题转化为了对函数间断点集的研究(而这一研究为集合论的发展开拓了道路, 并进一步加深了数学领域对于实数集结构的认识).</p>