How to understand proofs?

本文节选自 Robert S.Strichartz《分析方法》（ *The Way of Analysis* ），由虎头微分同学从英文原版翻译而来。

本书的目的之一在于让你明白书中所写的定理的证明。“理解”有很多不同的层次，达成一定程度的理解也要求你付出足够的努力。

“理解”的第一层次是你能够通读证明，并能确信其中的推理是正确的。证明中不需要“proof by intimidation”。你必须阅读论断的每一步骤，这意味着逐行审阅，检查所有展示出的细节，以及补全其中省略的细节。本书中，我将就可能把证明写的清晰一些，但是你在初次阅读时，可能依旧存在不理解的地方。在这些地方做上标记，继续往下阅读，之后在回过头来看看，在自己的努力下或是别人的帮助下，将这个证明看懂。

“理解”的第二层次则要求我们能抓住证明的结构。证明中应用的主要的定理有哪些？其中又包含了哪些构造？证明中主要的困难点在何处？而证明中又是如何克服的这些难点的？你需要在你的大脑中构建出证明的大纲，以及指导你补充证明细节的线索。你不需要去记住所有的一切，只要抓住足够的重点，使你能够在不参考书籍的情况下将整个证明用你自己的语言重构出来即可。

“理解”的第三层次需要我们能看清每个假设条件是如何被应用于证明中。你得能够指出每一个假设在何处被使用了——更好的是，你能做到给出去掉这一假设时的反例。你应当去探索各种弱化假设或加强结论的可能性。结果是否依然正确，你是否能找到反例？如果证明中存在一个明显的构造，那么，你应该试着去弄明白为什么要选择这一特殊的构造？简而言之，这一层次的“理解”需要你将证明拆解开然后再组合起来以看清楚整个证明的“运作”。当你达到这一层次之后，在记忆具体的定理陈述时将不再有困难存在。

当然，还有另一层次的“理解”，这一层次指向整个定理，而非仅仅谈及证明。这一层次涉及定理的应用以及如何推广定理的问题。显然，你不可能在短时间内获得这一能力。不断地解决问题，将会帮助你培养应用定理的感觉，体会应用过程中的技巧。等到你看完整本书的时候，你将会看到这本书从头至尾所有定理如何被应用。随着你接受的数学教育进一步深入，你将看到在这本书中的主题是如何发展的，其中的定理是如何应用以及推广的。出于同样的原因，你应该会发现，随着你逐步的学习你对之前所学的数学知识的理解已经拓宽并加深了。真心的说，数学中任何东西都不应该被遗忘。