历史上的例子:在无穷多个点间断但仍然可积的函数

历史上的例子:在无穷多个点间断但仍然可积的函数

一段历史

每一个学习数学的人一定都会知道 Reimann, 作为著名的数学家, 我们总能在各种地方见到他的名字. Reimann 在 1851 年获得了博士学位, 在 1854 年获得了讲师资格. 在德国的大学是这样的, 仅获得博士学位是不足以获得任教资格的, 还需要做出一份超越博士论文水平的研究成果——而 Reimann 的教授资格论文的选题是关于 Fourier 级数的.

这篇论文的题目是 Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (关于用三角级数表示一个函数的可能性). 这篇文章实际上解答了一个更大的问题, 即: 在什么情况下, 一个函数可以被表示为 $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx))}$? 也正是在这篇论文中, Reimann 首次提出并建立的Reimann 积分的概念.

这篇论文直到 Reimann 在 39 岁去世后的两年后, 1968年, 才在 Dedekind 的促进下被公开发表. 基于 Reimann 的研究成果, 在随后的几年里, 诞生了数篇重要的论文, 它们来自 Hankel, Heine, Cantor, 这些论文, 澄清了一致收敛的概念和可逐项积分的关系, 将函数可积性的问题转化为了对函数间断点集的研究(而这一研究为集合论的发展开拓了道路, 并进一步加深了数学领域对于实数集结构的认识).

由 Reimann 的这篇论文直接出发得到的一个重要成果, 来自于 Darboux 在1875 年发表的论文 Mémoire sur les fonctions discontinus(专题论文: 关于不连续函数), 在这篇文章中提出了 Reimann 积分的 Darboux 定义以及 Darboux 可积的条件, 极大的简化了对 Reimann 积分的处理.

在 Reimann 的那篇论文中, 黎曼构造的一个例子, 得到了 Darboux 的特别关注.

Reimann 的例子

Reimann 先定义了如下函数:

$$((x)) := \begin{cases}
x-\lfloor x\rfloor,& \lfloor x\rfloor\leq x < \lfloor x\rfloor + \frac{1}{2},\\
0, & x = \lfloor x\rfloor + \frac{1}{2},\\
x-\lfloor x\rfloor - 1, &\lfloor x\rfloor + \frac{1}{2} < x < \lfloor x\rfloor + 1\\
\end{cases}$$

以下是函数 $((x))$ 的一部分图像, 很容易发现并验证:

  • 函数 $|((x))|<\frac{1}{2}$,
  • 在每一个点 $x = \frac{2k+1}{2},(\forall k\in\mathbb{Z})$ 处间断(跳跃间断点).

函数((x))的部分图像

接着, Reimann 利用级数定义了以下函数:

$$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{((nx))}{n^2}.$$

下面以下是使用 Maple 绘制的函数 $f(x)$ 的一部分图像. (第一张图绘制了区间 $[0,1]$ 上的图像, 线型为点型线; 第二张图绘制了区间 $[0,2]$ 上的图像.)

函数f(x)的部分图像1
函数f(x)的部分图像2

我们断言, 函数 $f(x)$ 具有以下三个特别的性质:

  • 定义函数 $f(x)$ 的函数项级数是一致收敛的;
  • $f(x)$ 在所有以偶数为分母的有理数点处间断;
  • $f(x)$ Reimann 可积.

关于第一点性质, 从 $|((x))|<\frac{1}{2}$, 用比较审敛法就很容易看出了.

关于第二点性质, 显然, $f(x)$ 和 $((nx))$ 有共同的间断点集(利用级数一致收敛保持连续性), 而 $((x))$ 的间断点集是 ${x|x = \frac{2k+1}{2},\forall k\in\mathbb{Z}}$, 所以, $((nx))$ 的间断点集是 ${x|x = \frac{2k+1}{2n},\forall k\in\mathbb{Z}, n\in \mathbb{N}_+}$, 这个集合等价于所有以偶数为分母的有理数点构成的集合.

而关于第三点性质, 在有了 Lebesgue 判据后, 结论是显然的. 也很容易使用可积的 Darboux 可积条件来证明.

后来的一小段故事

关于微积分的其中一个基本问题是:“连续性和可微性之间是什么关系”, 在当时有数学家断言“除掉有限少数例外点, 连续性都可以保证可微”, 而在 Reimann 的那篇论文中, 黎曼构造的这个例子, 得到了 Darboux 的特别关注. 这个例子中的函数, 在所有以偶数为分母的有理数点处间断——这个函数的原函数是连续的, 但是却在无穷多个点处不可微. 这个例子的结论在现在看起来很简单, 从这个例子出发, Darboux 考虑寻找更极端的例子: 在定义域上处处连续却处处不可微的函数.

Darboux 给出的例子长这样:

$$g(x) = \sum^{\infty}_{n=1}{\frac{\sin((n+1)!x)}{n!}}.$$

在 Darboux 给出他的例子的同一年, Weierstrass 也发表了他的处处连续却处处不可微的函数的例子.

Weierstrass 的例子长这样, 其中 $a$ 为奇数, $0<b<1$, 且满足 $ab>1+3\pi/2$ :

$$\sum_{n=1}^{\infty}{b^n \cos(a^n\pi x)}.$$

历史上的例子:在无穷多个点间断但仍然可积的函数

https://zengfk.com.cn/2021/08/12/历史上的例子:在无穷多个点间断但仍然可积的函数/

作者

Zengfk

发布于

2021-08-12

更新于

2021-08-12

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