任意给出平面上的一条可求长曲线, 比如, 我们在纸上随手画的一条的曲线, 在不知道这条曲线具体的方程的情况下, 有没有什么简单的好办法能够比较精确的估计这条曲线的长度呢? 这里给出一个方法, 让我们数交点数量, 就能估计曲线长度.

可求长曲线长度的近似估计

具体操作

我们按照以下步骤来做:

• 以某一固定的间距 $r$ 画出一族平行线;
• 将这一族平行线旋转 $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{4}$, 这样我们一共得到四族平行线;
• 数出这四族平行线与待求长曲线的交点数量 $n$;
• 按如下公式计算曲线近似长度 $$L = \frac{1}{2}nr\frac{\pi}{4}.$$

逼近理论缘起

函数的最佳逼近问题起源于俄国数学家 P.L.切比雪夫. 1853 年, 当时切比雪夫正在研究关于将蒸汽引擎的线性运动转化为轮毂的圆周运动的联动装置的问题, 其中,他考虑了如下问题:

给出定义在闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数 $f$, 以及正整数 $n$, 是否能用最高不超过 $n$ 次的多项式函数 $\sum_{k=0}^{n}a_k x^k$ 来近似表示函数 $f$, 在区间上的任意一点处的误差在可控制的范围内?

特别的, 我们是否能构造出多项式 $P(x)$ 使得误差 $\max_{a\leq x\leq b}|f(x)-P(X)|$ 最小?

作为数学的一个简单的在物理上应用的例子, 这里我们写一写爱因斯坦狭义相对论中的洛伦兹变换的推导. 关于狭义相对论的具体物理理论、背景和发展, 参考 Wiki-狭义相对论.

Meine Herzallerliebste, ich bin Tausende von Meilen gegangen. Ich habe Flüsse überquert, Berge versetzt. Ich habe gelitten und ich habe Qualen über mich ergehen lassen. Ich bin der Versuchung widerstanden und ich bin der Sonne gefolgt, um dir gegenüberstehen zu können und um dir zu sagen, dass ich dich liebe.

我的至爱，我不远万里，跋山涉水，历尽艰辛，抵制诱惑，追随太阳，只为了能站在你面前对你说，我爱你。

【习题来源】数学分析：第七版.（俄罗斯）卓里奇著；李植译. 北京：高等教育出版社，2019.

1. 请证明:
   a) 如果 $f\in C(A)$ 且 $B \subset A$, 则 $f|_ B = C(B)$.
   
   b) 如果函数 $f: E_{1} \cup E_2 \rightarrow \mathbb{R}$, 满足 $f|_ {E_i} \in C(E_i), i = 1,2$, 则未必 $f\in C(E_1\cup E_2)$.
   
   c) 黎曼函数 $\mathscr{R}$ 以及它在有理数集上的限制 $\mathscr{R}|_ {\mathbb{Q}}$ 在集合 $\mathbb{Q}$ 的每一个非零的点间断, 并且所有的间断点都是可去间断点.