逼近理论简介-Bernstein 多项式

逼近理论缘起

函数的最佳逼近问题起源于俄国数学家 P.L.切比雪夫. 1853 年, 当时切比雪夫正在研究关于将蒸汽引擎的线性运动转化为轮毂的圆周运动的联动装置的问题, 其中,他考虑了如下问题:

给出定义在闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数 $f$, 以及正整数 $n$, 是否能用最高不超过 $n$ 次的多项式函数 $\sum_{k=0}^{n}a_k x^k$ 来近似表示函数 $f$, 在区间上的任意一点处的误差在可控制的范围内?

特别的, 我们是否能构造出多项式 $P(x)$ 使得误差 $\max_{a\leq x\leq b}|f(x)-P(X)|$ 最小?

由这此, 我们产生了如下几个问题:

• 存在性: 逼近函数是否存在?
• 具体形式: 如果存在, 那么具体如何构造呢?
• 唯一性: 满足条件的逼近函数是否是唯一的?

为了解决这三个问题, 于是诞生了所谓逼近理论. 这一理论在理论和数学的工程应用上都具有重要作用. 作为介绍, 仅讨论定义在在赋予了通常测度的实数域子集上的函数的逼近理论. 这篇主要围绕的是 Bernstein 多项式.

函数逼近理论中常用概念引入

对于在同一集合 $X$ 上定义的有界函数函数 $f$, $g$, 定义:

• $g$ 到 $f$ 的距离为:
  $$\Delta(g) = \sup_{x\in X}|f-g|.$$
• 定义在 $X$ 上的有界函数 $f$ 的连续模 (Modulus of Continuity):
  $$\omega(\delta) = \sup_{\small{\begin{array}{c} \mid x_1-x_2 \mid < \delta \\ x_1,x_2 \in E \end{array}}} |f(x_1)-f(x_2)|\quad(\delta>0).$$
• 不超过 $n$ 次的多项式构成的函数类用 $P_{n}$ 表示. 定义
  $$E_n(f) = \inf_{p_n\in P_n}\Delta(p_n).$$
• 若有多项式 $p^{\star}_n\in P_n$ 满足 $\Delta(p^{\star} _{n}) = E _n(f)$, 则其称为函数 $f$ 的**$n$ 次最佳逼近多项式**.

魏尔斯特拉斯(Weierstrass)逼近定理的 Bernstein 证明

事实上, 关于连续函数的最佳(一致)逼近问题, 数学家魏尔斯特拉斯在 1885 年给出了以下定理:

【Weierstrass Approximation Theorem】 令 $f$ 为定义在闭区间 $[a,b]$ 上的函数. 那么, $\forall \varepsilon>0$, 存在多项式 $p$, 使得 $|f-p|<\varepsilon$.

由这一条定理, 我们可以进一步得到, 对于 $f$ 最佳逼近多项式序列 $\{p^{\star} _{n}\}$, $\forall \varepsilon>0$, $\exists N\in \mathbb{N}$, $\forall n> N$, 使得 $|f-p^{\star} _{n}|<\varepsilon$. 即 $p^{\star} _{n}\rightrightarrows f$.

这个定理的一个构造性的证明是由俄罗斯数学家 S.N.伯恩斯坦 在 1912 年给出的, 在其中构造了Bernstein 多项式. 写下证明前, 在此先说明一个事实: 任意的闭区间 $[a, b]$ 都与闭区间 $[0,1]$ 等价 (作为代数在结构上同构, 作为格是序同构的, 而作为赋范空间其线性等距). 所以, 只需要在 $[0,1]$ 区间上证明定理即可.

【伯恩斯坦 (Bernstein) 多项式】 设 $f$ 为定义在 $[0, 1]$ 上的有界函数. 以下多项式序列称为 $f$ 的 Bernstein 多项式:
$$\left(B_n(f)\right)(x) = \sum^{n} _{k=0}{f\left(\frac{k}{n}\right)C^{k} _{n} x^k (1-x)^{n-k}},\quad 0\leqslant x \leqslant 1.$$

显然, 在两个端点上 $(B_n(f))(0) = f(0), (B_n(f))(1) = f(1)$. 从某个意义上, 可以将 $B_n(f)$ 视为 $f\left(\frac{k}{n}\right), k = 1,\cdots,n$ 的加权平均数.

为了证明 $B_{n}(f)\rightrightarrows f$. 为此, 先证明以下引理, 其中只涉及三个非常简单的函数, 这三个函数分别是
$$f_0(x) = 1,\quad f_1(x) = x,\quad f_2 = x^2.$$

【引理】

• a) $B_n(f_0) = f_0$, $B_n(f_1) = f_1$;
• b) $B_n(f_2) = (1-\frac{1}{n})f_2 +\frac{1}{n}f_1$, 并且 $B_{n}(f_2)\rightrightarrows f_2$;
• c) $\sum^{n} _{k=0}{\left(\frac{k}{n}-x\right)^2 C^{k} _{n} x^k (1-x)^{n-k}} = x(1-x)/n \leqslant \frac{1}{4n},\quad \text{if}\quad 0\leqslant x \leqslant 1.$
• d) 给定 $\delta>0$ 以及 $0\leqslant x \leqslant 1$, 用 $D$ 表示 $\{1,\cdots, n\}$ 中使得 $|k/n -x|>\delta$ 的那些 $k$ 构成的集合. 那么$\sum^{n} _{k\in D}{C^{k} _{n} x^k (1-x)^{n-k}}\leqslant \frac{1}{4n\delta ^2}$.

【证明】
a) 由二项式展开, 立刻有 $B_n(f_0) = [x + (1-x)]^n = 1 = f_0$; 而
\begin{array}{cl}
B_n(f_1) &=& \sum^{n}\limits _{k=0} {\frac{k}{n}C^{k} _{n} x^k (1-x)^{n-k}} \\
&=& \sum^{n}\limits _{k=0}{\frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!} x^k (1-x)^{n-k}} \\
&=& x \sum^{n}\limits _{k=0}{\frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!} x^{k-1} (1-x)^{n-k}} \\
&=& x [x + (1-x)]^{n-1} = x.
\end{array}

b) 类似的, 依旧通过二项式展开定理证明:
\begin{array}{cl}
B_n(f_2) &=& \sum^{n}\limits _{k=0} {\left(\frac{k}{n}\right)^2C^{k} _{n} x^k (1-x)^{n-k}} \\
&=& \sum^{n}\limits _{k=0}{\frac{k}{n}\frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!} x^k (1-x)^{n-k}} \\
&=& \sum^{n}\limits _{k=0}{\left(\frac{k-1}{n-1}\frac{n-1}{n}+\frac{1}{n}\right) \frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!} x^k (1-x)^{n-k}}\\
&=& \sum^{n}\limits _{k=0}{\left(\frac{k-1}{n-1}\right)\left(\frac{n-1}{n}\right) \frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!} x^k (1-x)^{n-k}} + \frac{x}{n} \\
&=& \left(\frac{n-1}{n}\right)x^2 [x + (1-x)]^{n-2} + \frac{1}{n}x\\
&=& (1-\frac{1}{n})f_2 +\frac{1}{n}f_1.
\end{array}显然, $n\rightarrow\infty$时有 $B_n(f_2)\rightarrow f_2$, 而且这个收敛是一致的.

c) 展开 $\left(\frac{k}{n}-x\right)^2 = \left(\frac{k}{n}\right)^2 - 2\left(\frac{k}{n}\right) x + x^2$. 利用 a) 和 b) 的结果, 注意 $0\leqslant x \leqslant 1$, 于是得到
\begin{array}{cl}
& \sum^{n} _{k=0}{\left(\frac{k}{n}-x\right)^2 C^{k} _{n} x^k (1-x)^{n-k}} \\
= & (1-\frac{1}{n})x^2 +\frac{1}{n}x - 2x^2 + x^2\\
= & \frac{1}{n}(x^2-x) \leqslant \frac{1}{4n}.
\end{array}

d) 注意到 $|k/n -x|>\delta$, 则 $(k/n -x)^2 /\delta^2 >1$, 故
\begin{array}{cl}
& \sum^{n} _{k\in D}{C^{k} _{n} x^k (1-x)^{n-k}} \\
\leqslant & \frac{1}{\delta^2}\sum^{n} _{k=0}{\left(\frac{k}{n}-x\right)^2 C^{k} _{n} x^k (1-x)^{n-k}}\leqslant \frac{1}{4n\delta^2}.
\end{array}

至此引理证明完毕. 接着完成对于原命题的证明, 也就是证明 $n\rightarrow\infty$ 时, $B_n(f)\rightarrow f$.

\begin{array}{cl}
|f- B_n(f)| &=& \left| f(x) - \sum^{n} _{k=0}{f\left(\frac{k}{n}\right)C^{k} _{n} x^k (1-x)^{n-k}} \right| \\
&=& \left| \sum^{n} _{k=0}{\left(f(x) - f\left(\frac{k}{n}\right)\right)C^{k} _{n} x^k (1-x)^{n-k}} \right| \\
&\leqslant& \sum^{n} _{k=0}{\left|f(x) - f\left(\frac{k}{n}\right)\right|C^{k} _{n} x^k (1-x)^{n-k}}.
\end{array} 由于 $f$ 有界, 设为 $M$; 同时$f$ 又是区间上的连续函数 $\forall \varepsilon/2 > 0$, $\exists\delta > 0$, $\forall x, x_1 \in [1 ,0]$, $|x-x_1|<\delta$ 有 $|f(x)-f(x_1)|<\varepsilon$. 于是按照上述引理的 d) 有:
\begin{array}{cl}
& \sum^{n} _{k=0}{\left|f(x) - f\left(\frac{k}{n}\right)\right|C^{k} _{n} x^k (1-x)^{n-k}} \\
=& \sum _{k\notin D}{\left|f(x) - f\left(\frac{k}{n}\right)\right|C^{k} _{n} x^k (1-x)^{n-k}}\\
&+\sum _{k \in D}{\left|f(x) - f\left(\frac{k}{n}\right)\right|C^{k} _{n} x^k (1-x)^{n-k}}\\
\leqslant & \frac{\varepsilon}{2} + 2M\frac{1}{4n\delta^2}.
\end{array}
显然, 只要 $n>M/(\varepsilon\delta^2)$, 上式便小于 $\varepsilon$. 至此, 证明完成. Q.E.D

Bernstein 通过这一构造, 完成了对于魏尔斯特拉斯逼近定理的证明. 这个证明的重要意义在于其实实在在的构造出了一个一致收敛的多项式函数序列, 为寻找函数 $f$ 的逼近多项式提供了一个便捷的显式表达. 但这会是最佳的逼近多项式吗? 事实是不一定. 以前述 $f(x) = x^2$ 为例, 显然, 其最佳逼近多项式就是自身, 但是其 Bernstein 多项式为 $(1-1/n)x^2 + (1/n)x$. 到现在为止, 我们只解决了第一个, 关于逼近多项式函数存在的问题, 并给出了一种可能的构造这样的多项式的方法. 至于最佳逼近, 以及逼近函数唯一性的问题, 则暂时留待下次再谈.