关于Feynman 技巧

“If you can’t explain it simply, you don’t understand it well enough.”（如果你无法简单的解释一件事，说明你对这件事理解的还不够充分。）

这句话通常被认为来自于爱因斯坦。不论真假与否，这句话确实对于学习者有重要的启发。这就是Feynman 学习技巧的基本思想：

If you want to understand something well, try to explain it simply.

试着去用简单的语言表述一个概念的时候，我们很容易了解到自己对这个概念的理解程度，定位自己的疑问之处，在这些地方，我们会发现自己卡壳了或者不能用足够简单的语言去阐述。

费曼学习技巧是一种快速有效的目标学习法，这一方法不仅仅可以应用于数学、自然科学的学习，也适用于很多其他的需要理解和记忆的学科。

为了进一步提高自己的 research 与写作能力，东施效颦，学着优秀的学长们的方法，建立自己的research blog。 几经折腾，我的 research blog 今天正式上线了，点击这里访问或者通过点击本博客页面上 Research 分区进入。 这个新 Blog 将遵循以下方式写作与维护：

• 这个博客将会是全英文的，我建立它的一个重要目标就是锻炼自己的英文写作能力，尤其是学术英语的应用水平；
• 博客主题将限制在自己当前阶段的研究方向上（研究生阶段，复分析与调和分析方向）。目前的设想是写一些学习笔记，论文调研以及阅读的记录。这样也将方便自己日后快速找到所需的论文；
• 更遥远的将来，我也会将自己的一些工作，比如论文的预印本，对于一些 idea 的思考，放到这个博客中，希望和大家一起交流。

我决定建立的这个专注于学术的博客，主要原因与前辈学长的理由是一样的，可以说，我认为他所说的这个想法，对我来说也是非常有价值的:

• 加深自己的对相关研究领域的思考与认知。要完成一个高质量的写作任务，不仅仅是要磨练写作的技巧，更重要的是在写作过程中重塑自己的思想，加深自己思考的深度。 另外，为了写好调研文章，需要有大量的阅读作为基础，这就可以倒逼自己阅读大量的论文。 按照我之前的经验，阅读一篇论文之后，如果和自己的研究方向差距比较大，其实很快就会忘记了。 但是，通过进行调研写作，能很大程度上给自己的大脑留下更多的印象。 当将来遇到类似的问题的时候，不会显得不知所措了。
• 维护这样一个research blog，必定需要付出不少的精力。毕竟我们对它的定位是一个职业的、客观的学术博客，不能像普通的博客一样那么随性，想到什么就写什么。 为了写好每一篇博文，我需要进行大量的准备工作。 即使是这样，我还是相信这样做是有意义的。我需要这样一个工具或者平台，来倒逼自己更加努力的工作。

这里记录一些重要的群的例子, 以备参考.

常见的群的例子

这里给出一些重要的群的例子.

关于生成函数, 以下直接引用 wiki 百科上的介绍:

In mathematics, a generating function is a way of encoding an infinite sequence of numbers ($a_n$) by treating them as the coefficients of a formal power series. This series is called the generating function of the sequence.

Unlike an ordinary series, the formal power series is not required to converge: in fact, the generating function is not actually regarded as a function, and the “variable” remains an indeterminate. Generating functions were first introduced by Abraham de Moivre in 1730, in order to solve the general linear recurrence problem. One can generalize to formal power series in more than one indeterminate, to encode information about infinite multi-dimensional arrays of numbers.

正如这段介绍中所说, 生成函数就是描述数列的另一种不同的方法而已, 这种方法将整个序列视作了一个对象进行考虑, 更具体的说, 就是个幂级数, 其系数有着某些特定含义.

作为一篇小品, 本文只简单介绍一下生成函数定义, 并利用该方法研究斐波那契数列.

在复分析中的几何理论中, 有一个有趣而且重要的主题, 即共形映射. 其中有一类很自然的解析函数类——分式线性变换.

考虑以下有理函数

$$f(z) = \frac{az+b}{cz+d}$$

其中，$a,b,c,d$ 均为复数. 要使得以上函数具有良好的定义, 很自然, 需要要求 $c,d$ 不能同时为 $0$; 另一方面, 为了保证函数不会退化成常数函数, 则需要满足 $a/c \neq b/d$.

综合来说, 当以上有理函数满足 $ad-bc\neq 0$ 时, 我们称之为一个分式线性变换. 我们都知道:

• 分式线性变换的复合还是一个分式线性变换变换.
• 任何分式线性变换都可以表示为三种简单变换的复合, 即:平移、旋转、反演的复合.

关于分式线性变换的很多性质, 留到谈共形映射时再谈. 以下提供一个有意思的视角, 也许能帮助我们更容易的认识分式线性变换.