学习 Galois 理论须知的群论概念

学习 Galois 理论须知的群论概念

内容节选自 from J. Rotman’s Galois Theory - Appendix 1. 仅供学习时备忘使用.

Abelian Group. A group in which multiplication is commutative.

Alternating Group $A_n$. The subgroup of $S_n$ consisting of all the even permutations. it has order $\frac{1}{2}n!$.

Associativity. For all $x,y,z$, one has $(xy)z=x(yz)$. it follows that one does not need parentheses for any product of three or more factors.

Automorphism. An isomorphism of a group with itself.

Commutativity. For all $x,y$, one has $xy=yx$.

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历史上的例子:在无穷多个点间断但仍然可积的函数

历史上的例子:在无穷多个点间断但仍然可积的函数

一段历史

每一个学习数学的人一定都会知道 Reimann, 作为著名的数学家, 我们总能在各种地方见到他的名字. Reimann 在 1851 年获得了博士学位, 在 1854 年获得了讲师资格. 在德国的大学是这样的, 仅获得博士学位是不足以获得任教资格的, 还需要做出一份超越博士论文水平的研究成果——而 Reimann 的教授资格论文的选题是关于 Fourier 级数的.

这篇论文的题目是 Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (关于用三角级数表示一个函数的可能性). 这篇文章实际上解答了一个更大的问题, 即: 在什么情况下, 一个函数可以被表示为 $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx))}$? 也正是在这篇论文中, Reimann 首次提出并建立的Reimann 积分的概念.

这篇论文直到 Reimann 在 39 岁去世后的两年后, 1968年, 才在 Dedekind 的促进下被公开发表. 基于 Reimann 的研究成果, 在随后的几年里, 诞生了数篇重要的论文, 它们来自 Hankel, Heine, Cantor, 这些论文, 澄清了一致收敛的概念和可逐项积分的关系, 将函数可积性的问题转化为了对函数间断点集的研究(而这一研究为集合论的发展开拓了道路, 并进一步加深了数学领域对于实数集结构的认识).

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学习方法论-如何阅读数学文献

学习方法论-如何阅读数学文献

申明: 本文来自于英文原著《How to think like a mathematician》部分内容节选, 由本人翻译而来. 仅供学习使用.

不要(盲目的)相信你读到的一切。—— Anon

与读过或者学习过一些一般的学术阅读技巧不同的是,数学的阅读往往有很多不一样的地方。在很多学科中,快速阅读都是一种非常有价值的学习技巧,但是对于数学来说却是非常糟糕的——数学的文字很少冗余,也没有什么华丽的辞藻,往往每一个词,每一个数学符号都是重要并且不可缺失的。

这里是对阅读数学书的一些提示,其中包括一系列系统的方法,帮助你将数学阅读掰成小块以便于消化。它们是一系列可供实践的方法建议,不应当被视为教条化的操作手册。其要点有以下两条:

  • 养成灵活的阅读习惯——对于一个主题,尽可能阅读多种不同的处理方法;
  • 阅读应当是一个动态的过程——应当做一个主动的阅读者,在阅读的同时带上纸笔,以供随时检查书本上内容,验证作者所声称的命题的正确性。

这后面的一点正是数学思维区别与其他很多学科(如历史、社会学)思维不同的地方。你需要在阅读过程中不断的去验证其中的每一个细节。而比如在历史学里,你不可能去验证凯撒是否真的在公元前 55 世纪入侵过不列颠,你只能去考察那些宣称这一历史事件发生的文献记录。但是在数学里,你真的可以去,并且应该去验证每一点事实。

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每日一言 - 5月31日言

每日一言 - 5月31日言

今日一言, 来自施瓦茨关于傅里叶级数与傅里叶积分的评价:

The theory of Fourier series and integrals has always had major difficulties and necessitated a large mathematical apparatus in dealing with questions of convergence. It engendered the development of methods of summation, although these did not lead to a completely satisfactory solution of the problem…. For the Fourier transform, the introduction of distributions (hence the space $\mathscr{S}$) is inevitable either in an explicit or hidden form…. As a result one may obtain all that is desired from the point of view of the continuity and inversion of the Fourier transform.

傅里叶级数和傅里叶积分理论一直存在一些主要困难, 需要用到大量的数学工具以处理收敛性问题. 这一理论促进了求和方法的发展, 尽管这些方法并没有完全令人满意地解决这个问题… 而对于傅里叶变换, 我们不可避免的要引入分布(因此空间 $\mathscr{S}$), 无论是显式的还是隐藏的形式… 而由此带来的结果就是, 人们可以从傅里叶变换的连续性和反演的角度获得他们所需的一切.

*L. Schwartz*, 1950

关于做学术讲演的几条经验

在参加课题组组会, 做论文答辩, 乃至做学术讲座, 参加学术交流活动时, 能够做一场精彩生动的讲述或讲演, 是非常具有挑战性的一件事. 在和一众朋友交流问题时, 我也常因为准备不足而致使尴尬冷场. 作为一种沟通的技能, 我们有必要加以掌握.

所幸, 在阅读 AMS 的一系列博客时, 遇到一篇经验之谈, A Reflection on Giving Talks , 是作者在参与 Freie Universität 一场”软技能”研讨会后的总结思考, 读之深以为然. 在此写篇笔记, 以备日后所需.

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