说明. 本文为以前学习拓扑学时的部分笔记, 现发布于博客中供参考备忘. 若有读者发现错漏之处, 敬请电邮联系更正.

首先在集合的层次上讨论积的概念, 然后再转向考虑积拓扑空间, 最后讨论了积空间紧性的问题.

集族的笛卡尔积

Note. 有限个集合的笛卡尔积被定义为有序数组的形式 $(x_1,\cdots,x_n)$, 其中 $x_{i} \in X_{i}$. 也可以将其视为一族 $X_1\times\cdots\times X_2$ 上的映射
$$\left\{x:{1,\cdots,n}\rightarrow X_1\cup\cdots\cup X_n\mid x(j)\in X_{j}, \forall j = 1,\cdots,n \right\}.$$
这个形式方便我们将笛卡尔积推广到一般的集族的情况上.

对于函数空间, 在需要研究其某些特定的性质时, 对于这个空间赋予适当的拓扑结构, 是非常有用的一种方法. 一个常见的方面就是: 通过其拓扑在给定的义意下讨论函数族收敛的概念.

在线性泛函分析学习中学过的赋范线性空间, 就是通过对空间赋予范数来引入拓扑结构–由范数可以自然的诱导相应的度量, 度量则给出了空间的拓扑结构. 当然, 并非所有的函数空间的拓扑结构都可以由范数给出, 于是我们有更一般的关联于所谓半范数族的拓扑线性空间.

本Note收纳一些重要的关于 Lebesgue 积分的一些结论. 这里 $\Omega$ 总表示 $\mathbb{R}^n$ 中的开集, 具有 Lebesgue 测度 $dx$; $L^1(\Omega)$ 表示 $\Omega$ 上的可积函数空间.

Beppo Levi 单调收敛定理

设 ${f_n}$ 是 $L^1$ 中的递增序列(即 $\forall n, f_n\leqslant f_{n+1}~ a.e.$) 使得
$$\sup_{n}\int f_n <\infty,$$
那么 $f_n(x)$ 在 $\Omega$ 上几乎处处收敛, 记为 $f(x)$; 更进一步有 $f\in L^1$ 且 $|f_n- f|_{L^1}\rightarrow 0$.

Legesgue 控制收敛定理

设 ${f_n}$ 是 $L^1$ 中的函数序列. 假设

a) $f_n(x)\rightarrow f(x)$ a.e. 收敛于 $\Omega$ 中,

b) 存在函数 $g\in L^1$, 使得每个 $n$, $|f_n(x)|\leqslant g(x)$, a.e. 于 $\Omega$ 中.

则 $f\in L^1(\Omega)$, 并且 $|f_n-f|_{L^1}\rightarrow 0$.

内容节选自 from J. Rotman’s Galois Theory - Appendix 1. 仅供学习时备忘使用.

Abelian Group. A group in which multiplication is commutative.

Alternating Group $A_n$. The subgroup of $S_n$ consisting of all the even permutations. it has order $\frac{1}{2}n!$.

Associativity. For all $x,y,z$, one has $(xy)z=x(yz)$. it follows that one does not need parentheses for any product of three or more factors.

Automorphism. An isomorphism of a group with itself.

Commutativity. For all $x,y$, one has $xy=yx$.

一段历史

每一个学习数学的人一定都会知道 Reimann, 作为著名的数学家, 我们总能在各种地方见到他的名字. Reimann 在 1851 年获得了博士学位, 在 1854 年获得了讲师资格. 在德国的大学是这样的, 仅获得博士学位是不足以获得任教资格的, 还需要做出一份超越博士论文水平的研究成果——而 Reimann 的教授资格论文的选题是关于 Fourier 级数的.

这篇论文的题目是 Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (关于用三角级数表示一个函数的可能性). 这篇文章实际上解答了一个更大的问题, 即: 在什么情况下, 一个函数可以被表示为 $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx))}$? 也正是在这篇论文中, Reimann 首次提出并建立的Reimann 积分的概念.

这篇论文直到 Reimann 在 39 岁去世后的两年后, 1968年, 才在 Dedekind 的促进下被公开发表. 基于 Reimann 的研究成果, 在随后的几年里, 诞生了数篇重要的论文, 它们来自 Hankel, Heine, Cantor, 这些论文, 澄清了一致收敛的概念和可逐项积分的关系, 将函数可积性的问题转化为了对函数间断点集的研究(而这一研究为集合论的发展开拓了道路, 并进一步加深了数学领域对于实数集结构的认识).