关于等周不等式的历史

直接引用文献中对于等周问题的介绍：

最早的几何不等式应该是著名的等周不等式, 该不等式具有悠久的历史. 等周问题最早由著名数学家 Joham Beynoulli 在 1679 年提出, 从等周定理的提出到现在, 人们关于等周问题的研究讨论从未停止过, 研究成果不断的推陈出新, 使得等周型不等式的研究领域欣欣向荣, 可以说等周定理是数学史上被证明次数最多的定理之一…

从实用性的角度来看, 在数学家正式提出等周定理之前, 人类乃至动物界已经在不自觉地使用这个定理了, 比如：人们使用定长的绳子圈地的过程中, 当绳子以圆形的方式圈地时, 得到的土地面积最大; 在寒冷的冬季, 人类或者动物会缩成一团, 为的就是在体积一定的情况下, 尽量缩小自己的表面积, 减小热量的损失；在物理中, 等周不等式问题和跟所谓的最小作用量有关, 一个直观的表现就是水珠的形状, 在没有外力的情况下(如失重的太空舱里), 水珠的形状是完全对称的球体, 这是因为当水珠体积一定时, 表面张力会迫使水珠的表面积达到最小值, 根据等周不等式的原理, 最小值在水珠形状为球状时达到…

等周不等式的一个经典的证明是利用变分方法, 本文中介绍由复分析, 调和分析领域著名数学家 Carleman 给出的复分析证明. 由此出发, 也引出了一系列函数空间理论上的问题之研究.

从属性

首先介绍函数从属性的概念. 这一概念,最早来自于 Lindelöf 在 1908 年给出的一个定理, 现在常称为 Lindelöf 原理.

我们设 $f, g$ 均为 $\mathbb{D}$ 中的解析函数. 若存在解析函数 $\varphi: \mathbb{D}\rightarrow \mathbb{D}$, 使得 $\varphi(0) = 0$ 且 $f = g\circ \varphi$ 对于一切 $z\in \mathbb{D}$ 均成立, 则称 $f$ 从属于 $g$, 记为 $f\prec g$.

事实上, 设 $g(z)$ 为 $\mathbb{D}$ 上的单叶解析函数, 满足$g(0) = 0$. 再设 $f(z)$ 为 $\mathbb{D}$ 上的解析函数, 其满足$f(0) = 0$, 并且 $f$ 的值域落在 $F$ 的值域中. 于是函数 $\varphi(z) = g^{-1} \circ f$ 是 $\mathbb{D}$ 上良定的解析函数, 并且满足 $\varphi(0) = 0$, 以及 $|\varphi(z)|\leqslant 1$. 由 Schwarz 引理, 上述条件等价于要求: $|\varphi(z)|\leqslant |z|$ 且 $f = g\circ w$ 对于一切 $z\in \mathbb{D}$ 均成立.

几何直观上看, $f\prec g$ 意味着对任意的闭圆盘 $\overline{D(0,r)}, r\in(0,1)$ 在 $f = g\circ \varphi$ 作用下的像, 都落在 $g$ 对同一个圆盘作用的像中. 也可以说, 在某种意义下, $f$ 比 $g$ 要”小”. 而 Littlewood 从属定理正是对这一事实的精确表述.

凸函数

可进一步参考Convex Function of a Real Variable 以及 Convex Function of a Complex Variable.

Definition.
$I$ 为区间, 函数 $f: I\rightarrow \mathbb{R}$ 称为(下)凸函数, 若 $\forall x_1, x_2 \in I$ (不妨设$x_1 < x_2$), $\forall t\in (0,1)$, 有以下不等式成立:
$$f((1-t)x_1+tx_2) \leqslant (1-t)f(x_1) + tf(x_2).$$
集 $A\in \mathbb{C}$ 称为凸集, 若 $\forall z,w \in A$, $\forall 0\leqslant t\leqslant 1$, 点 $tz + (1-t)w \in A$.

$f(x)$ 为凸函数的条件可以等价的写成: $\forall x_1, x_2, x_3\in I$, 满足 $x_1 < x_3 < x_2$, 有
$$\begin{equation} (x_2 - x_1) f(x_3) \leqslant (x_2 - x_3) f(x_1) + (x_3 - x_1) f(x_2). \end{equation}$$
上式也可以写成
$$\begin{equation} \left|\begin{matrix} f(x_1) & x_1 & 1 \\ f(x_2) & x_2 & 1 \\ f(x_3) & x_3 & 1 \\ \end{matrix}\right| \geqslant 0 \end{equation}$$

凸函数(Convex)的几何意义是明显的. 即其上任意两点的连线, 必然位于两点之间函数图像的上方. 相对应的, 不等号反向的情况下称其为 Concave (上凸).

个人学习笔记整理而来, 内容如有错漏欢迎电邮联系. a collection of personal math notes.

Hahn-Banach Theorem is one of the core theorems of linear functional analysis. The Hahn-Banach Theorem in Vector Space is also called Analytic Form of Hahn-Banach Theorem. Two corollaries are especially important: Hahn-Banach Theorem in Normed Vector Space, and Geometric Form of Hahn-Banach Theorem.

Analytic Form

定理.[Hahn-Banach Theorem in Real Vector Space]

Let $X$ be a real vector space, and $p$ is a sublinear functional in $X$, that is, $p:X\rightarrow\mathbb{R}$ is a function satisfies the following properties:

$$\begin{eqnarray}p(\alpha x) = \alpha p(x),\quad \forall \alpha>0 \text{ and } x\in X,\\p(x+y) \leqslant p(x)+p(y)\quad \forall x,y\in X.\end{eqnarray}$$
And let $Y$ be a subspace of $X$, $l:Y\rightarrow\mathbb{R}$ is a linear functional in $Y$ which satisfies
$$l(y)\leqslant q(y),\quad \forall y\in Y.$$
Then there exists a linear functional $\widetilde{j}:X\rightarrow\mathbb{R}$, such that
$$\widetilde{l}(y)=l(y),\quad \forall y\in Y.\quad \text{ and } \widetilde{l}(y)\leqslant p(x),\quad \forall x\in X.$$

说明. 本文为以前学习拓扑学时的部分笔记, 现发布于博客中供参考备忘. 若有读者发现错漏之处, 敬请电邮联系更正.

Recall: 连通性的基本概念

【定义】[连通性] $X$ 为一拓扑空间. 若 $X$ 的一对非空开子集 $U,V$ 满足 $U\cap V = \varnothing, U\cup V =X$, 则称 $U,V$ 是分离的, 它们构成 $X$ 的一个分解. 若 $X$ 存在这样的分解, 则称 $X$ 是不连通的, 否则称为连通的.

关于连通性有以下等价描述:

空间 $X$ 是连通的, 当且仅当除了 $X$ 自身和 $\varnothing$ 外, 不存在其他既开又闭的子集.

Note. 由于连通性的定义仅涉及到一族开子集之间的关系, 显然, 这个概念是一个拓扑概念. 事实上, 连通性具有遗传性, 同时在连续映射, 有限积下依然保持.

说明. 本文为以前学习拓扑学时的部分笔记, 现发布于博客中供参考备忘. 若有读者发现错漏之处, 敬请电邮联系更正.

首先在集合的层次上讨论积的概念, 然后再转向考虑积拓扑空间, 最后讨论了积空间紧性的问题.

集族的笛卡尔积

Note. 有限个集合的笛卡尔积被定义为有序数组的形式 $(x_1,\cdots,x_n)$, 其中 $x_{i} \in X_{i}$. 也可以将其视为一族 $X_1\times\cdots\times X_2$ 上的映射
$$\left\{x:{1,\cdots,n}\rightarrow X_1\cup\cdots\cup X_n\mid x(j)\in X_{j}, \forall j = 1,\cdots,n \right\}.$$
这个形式方便我们将笛卡尔积推广到一般的集族的情况上.

对于函数空间, 在需要研究其某些特定的性质时, 对于这个空间赋予适当的拓扑结构, 是非常有用的一种方法. 一个常见的方面就是: 通过其拓扑在给定的义意下讨论函数族收敛的概念.

在线性泛函分析学习中学过的赋范线性空间, 就是通过对空间赋予范数来引入拓扑结构–由范数可以自然的诱导相应的度量, 度量则给出了空间的拓扑结构. 当然, 并非所有的函数空间的拓扑结构都可以由范数给出, 于是我们有更一般的关联于所谓半范数族的拓扑线性空间.

本Note收纳一些重要的关于 Lebesgue 积分的一些结论. 这里 $\Omega$ 总表示 $\mathbb{R}^n$ 中的开集, 具有 Lebesgue 测度 $dx$; $L^1(\Omega)$ 表示 $\Omega$ 上的可积函数空间.

Beppo Levi 单调收敛定理

设 ${f_n}$ 是 $L^1$ 中的递增序列(即 $\forall n, f_n\leqslant f_{n+1}~ a.e.$) 使得
$$\sup_{n}\int f_n <\infty,$$
那么 $f_n(x)$ 在 $\Omega$ 上几乎处处收敛, 记为 $f(x)$; 更进一步有 $f\in L^1$ 且 $|f_n- f|_{L^1}\rightarrow 0$.

Legesgue 控制收敛定理

设 ${f_n}$ 是 $L^1$ 中的函数序列. 假设

a) $f_n(x)\rightarrow f(x)$ a.e. 收敛于 $\Omega$ 中,

b) 存在函数 $g\in L^1$, 使得每个 $n$, $|f_n(x)|\leqslant g(x)$, a.e. 于 $\Omega$ 中.

则 $f\in L^1(\Omega)$, 并且 $|f_n-f|_{L^1}\rightarrow 0$.

内容节选自 from J. Rotman’s Galois Theory - Appendix 1. 仅供学习时备忘使用.

Abelian Group. A group in which multiplication is commutative.

Alternating Group $A_n$. The subgroup of $S_n$ consisting of all the even permutations. it has order $\frac{1}{2}n!$.

Associativity. For all $x,y,z$, one has $(xy)z=x(yz)$. it follows that one does not need parentheses for any product of three or more factors.

Automorphism. An isomorphism of a group with itself.

Commutativity. For all $x,y$, one has $xy=yx$.

这里记录一些重要的群的例子, 以备参考.

常见的群的例子

这里给出一些重要的群的例子.