逼近理论简介-Bernstein 多项式

逼近理论简介-Bernstein 多项式

逼近理论缘起

函数的最佳逼近问题起源于俄国数学家 P.L.切比雪夫. 1853 年, 当时切比雪夫正在研究关于将蒸汽引擎的线性运动转化为轮毂的圆周运动的联动装置的问题, 其中,他考虑了如下问题:

给出定义在闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数 $f$, 以及正整数 $n$, 是否能用最高不超过 $n$ 次的多项式函数 $\sum_{k=0}^{n}a_k x^k$ 来近似表示函数 $f$, 在区间上的任意一点处的误差在可控制的范围内?

特别的, 我们是否能构造出多项式 $P(x)$ 使得误差 $\max_{a\leq x\leq b}|f(x)-P(X)|$ 最小?

阅读更多

数学分析习题解-连续函数(1)

【习题来源】数学分析:第七版.(俄罗斯)卓里奇著;李植译. 北京:高等教育出版社,2019.

  1. 请证明:
    a) 如果 $f\in C(A)$ 且 $B \subset A$, 则 $f|_ B = C(B)$.

    b) 如果函数 $f: E_{1} \cup E_2 \rightarrow \mathbb{R}$, 满足 $f|_ {E_i} \in C(E_i), i = 1,2$, 则未必 $f\in C(E_1\cup E_2)$.

    c) 黎曼函数 $\mathscr{R}$ 以及它在有理数集上的限制 $\mathscr{R}|_ {\mathbb{Q}}$ 在集合 $\mathbb{Q}$ 的每一个非零的点间断, 并且所有的间断点都是可去间断点.
阅读更多
数学分析习题解-函数极限(2)

数学分析习题解-函数极限(2)

续上一篇 数学分析习题解-函数极限(1). 这一部分习题主要涉及无穷乘积.

  1. 请证明:
    a) 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\ln a_n$ (其中 $a_n>0, n\in\mathbb{N}$) 收敛的充要条件是数列 $\{\prod_{n} = a_1\cdots a_n\}$ 有非零极限.

    b) 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\ln(1+a_n)$ (其中 $|a_n|<1$) 绝对收敛的充要条件是级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 绝对收敛.

【证明】
a) 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\ln a_n$ 收敛, 则 $n\rightarrow\infty$ 时, $\sum_{k=1}^{n}\ln a_k = \ln(\Pi_n) $ 有极限. 由自然对数的性质立刻得知 $n\rightarrow\infty$ 时 $\Pi_n$ 趋于非零极限. 这些步骤都是可逆的, 必要性和充分性由此可以得到.

b) 由 $n\rightarrow\infty$ 时 $\ln (1+a_n)\sim a_n$ ($|a_n|<1$), 由前面的题 5 可知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}|\ln(1+a_n)|$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ 同时敛散. 故待证命题成立. Q.E.D.

阅读更多
数学分析习题解-函数极限(1)

数学分析习题解-函数极限(1)

【习题来源】数学分析:第七版.(俄罗斯)卓里奇著;李植译. 北京:高等教育出版社,2019.2

习题

  1. a) 请证明: 在 $\mathbb{R}$ 上定义且满足以下要求的函数存在并且是唯一的:
    \begin{array}{c}
    f(1)=a\quad(a>0, a\neq 1),\\
    f(x_1)\cdot f(x_2)=f(x_1+x_2),\\
    x\rightarrow x_0, f(x)\rightarrow f(x_0).
    \end{array}
    b) 请证明: 在 $\mathbb{R_+}$ 上定义且满足以下要求的函数存在并且是唯一的:
    \begin{array}{c}
    f(1)=a\quad(a>0, a\neq 1),\\
    f(x_1)\cdot f(x_2)=f(x_1+x_2),\\
    x_0\in \mathbb{R_+}, \mathbb{R_+}\ni x\rightarrow x_0, f(x)\rightarrow f(x_0).
    \end{array}
阅读更多
指数函数, 对数函数以及幂函数的定义

指数函数, 对数函数以及幂函数的定义

这里, 我们利用实数理论以及极限理论来完整的定义指数函数, 对数函数以及幂函数的定义.

指数函数 $a^x$

设 $a>1$.

  1. 对于 $n\in \mathbb{N}$, 归纳的定义 $a^1 = a, a^{n+1}=a^n\cdot a^1$, 这样我们就在 $\mathbb{N}$ 上定义了函数 $a^n$, 同时可以看出, 函数具有性质$a^m/a^n = a^{m-n}(m,n\in \mathbb{N}, m>n)$.
  2. 由上面这个性质, 我们可以自然的定义 $a^0: = 1, a^{-n} = 1/a^n $. 于是, $a^n$ 的定义自然的拓展到了整数集 $\mathbb{Z}$ 上. $\forall n,m\in \mathbb{Z}, a^n\cdot a^m = a^{n+m}$.
  3. 由实数理论, 我们知道 $\forall a> 0, n\in\mathbb{N},\exists \text{唯一的}x>0 (x^n = a)$. 用 $x = a^{1/n}$ 表示数 $a$ 的 $n$ 次方根. 这一记法保留了指数的加法规则. 于是我们可以进一步定义 $a^{m/n}(m,n\in\mathbb{N})$. 即对于 $r\in\mathbb{Q}$ 定义了 $a^r$.
  4. 由归纳原理, 可以验证 $\forall x>0, y>0, n\in\mathbb{N}$ 时有 $(x< y)\Leftrightarrow(x^n< y^n)$ 和 $(x= y)\Leftrightarrow(x^n= y^n)$.
  5. 由此我们可以证明有理指数的运算法则, 并得到 $\forall r_1,r_2\in \mathbb{Q}, a^{r_1}\cdot a^{r^2} = a^{r_1+r_2}$.
  6. 由 4. 知 $r_1,r_2\in \mathbb{Q}, (r_1<r_2)\Leftrightarrow (a^{r_1}< a^{r^2})$.
阅读更多

数学分析习题解-序列极限(3)

【习题来源】数学分析:第七版.(俄罗斯)卓里奇著;李植译. 北京:高等教育出版社,2019.2

  1. 请证明
  • a) 当 $n\leqslant 2$ 时, 以下等式成立: \begin{array}{l} & 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\frac{1}{n!n}\\ = & 3 - \frac{1}{1\cdot 2\cdot 2!}-\cdots -\frac{1}{(n-1)n\cdot n!}.\end{array}
  • b) $$e = 3 - \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+2)!}.$$
  • c) 为近似计算 $e$, 公式 $$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\frac{1}{n!n}$$ 远好于原来的公式 $$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}.$$
阅读更多

数学分析习题解-序列极限(2):连分数

【习题来源】数学分析:第七版.(俄罗斯)卓里奇著;李植译. 北京:高等教育出版社,2019.2

  1. 表达式 $$n_1 + \frac{1}{n_2 + \frac{1}{\begin{matrix} n_3 + \ddots & \\ & \frac{1}{n_{k-1}+\frac{1}{n_k}}\end{matrix}}},$$其中 $n_i\in\mathbb{N}$, 称为链式分数或有限连分数, 而表达式 $$n_1 + \frac{1}{n_2 + \frac{1}{n_3 + \ddots}}$$称为无穷连分数. 在一个连分数中去掉某个链开始的所有分数, 所得分数称为这个连分数的渐进分数. 无穷连分数的渐进分数序列极限是该无穷连分数的值.
    关于连分数的基本性质, 参考 Continued Fraction.
    请证明:
阅读更多
数学分析习题解-序列极限(1)

数学分析习题解-序列极限(1)

【习题来源】数学分析:第七版.(俄罗斯)卓里奇著;李植译. 北京:高等教育出版社,2019.2

习题

  1. 请证明:数 $x\in \mathbb{R}$ 是有理数的充要条件是,它在任何 q-进制计数法中是循环的,即从某一位数开始,它由一组周期性重复的数码组成。

【证明】 充分性: 若 $x$ 在任意 q-进制下是循环的, 设循环节长度为 $k$, 显然 $n = q^k x - x$ 为有限小数, 即 $n$ 为有理数, 那么由有理数对四则运算的封闭性, 可知 $x$ 也是有理数.

阅读更多
枯燥刻板的逻辑学?

枯燥刻板的逻辑学?

逻辑学, 是一门既古老由年轻的学科. 说其老, 只有哲学和数学诞生在逻辑学之前; 说其年轻, 逻辑学从公元前, 古希腊的哲学思辨一直发展到今天, 依然在不断前进, 也为现代数学和计算机科学带来了新的发展. 千年以来, 逻辑学一直在承担着指导人类思维于行为的重要工具.

逻辑无处不在, 鉴于逻辑与哲学和数学的紧密联系, 很多人听到逻辑学, 首先想到的是一幕幕在”故纸堆中搜肠刮肚剖解语言的老学究”形象. 而现代人很多由于缺乏足够的逻辑思维的训练, 而陷入各种”谬误”之中, 更有与此伴随而来的”高级的”谣言等等, 不一而足.

不止一次和朋友谈到这些话题, 写下这篇短文, 尝试给”枯燥刻板的”逻辑学祛魅, 一起认识逻辑之有趣, 不亦乐乎.

阅读更多

线性代数-矩阵基础-3

矩阵的秩

矩阵的秩,是用于描述矩阵的一个重要的性质,它由行(列)向量组的极大线性无关组中包含的向量的个数来定义, 描述了矩阵的行(列)向量空间的维数. 关于一个矩阵 $A$ 的秩,有一点重要基本的性质:

**【定理】** 初等变换不改变矩阵的秩.进一步的,初等行(列)变换不改变矩阵任意列(行)之间的线性相关性.
阅读更多