从属性

首先介绍函数从属性的概念. 这一概念,最早来自于 Lindelöf 在 1908 年给出的一个定理, 现在常称为 Lindelöf 原理.

我们设 $f, g$ 均为 $\mathbb{D}$ 中的解析函数. 若存在解析函数 $\varphi: \mathbb{D}\rightarrow \mathbb{D}$, 使得 $\varphi(0) = 0$ 且 $f = g\circ \varphi$ 对于一切 $z\in \mathbb{D}$ 均成立, 则称 $f$ 从属于 $g$, 记为 $f\prec g$.

事实上, 设 $g(z)$ 为 $\mathbb{D}$ 上的单叶解析函数, 满足$g(0) = 0$. 再设 $f(z)$ 为 $\mathbb{D}$ 上的解析函数, 其满足$f(0) = 0$, 并且 $f$ 的值域落在 $F$ 的值域中. 于是函数 $\varphi(z) = g^{-1} \circ f$ 是 $\mathbb{D}$ 上良定的解析函数, 并且满足 $\varphi(0) = 0$, 以及 $|\varphi(z)|\leqslant 1$. 由 Schwarz 引理, 上述条件等价于要求: $|\varphi(z)|\leqslant |z|$ 且 $f = g\circ w$ 对于一切 $z\in \mathbb{D}$ 均成立.

几何直观上看, $f\prec g$ 意味着对任意的闭圆盘 $\overline{D(0,r)}, r\in(0,1)$ 在 $f = g\circ \varphi$ 作用下的像, 都落在 $g$ 对同一个圆盘作用的像中. 也可以说, 在某种意义下, $f$ 比 $g$ 要”小”. 而 Littlewood 从属定理正是对这一事实的精确表述.

说明. 本文为以前学习拓扑学时的部分笔记, 现发布于博客中供参考备忘. 若有读者发现错漏之处, 敬请电邮联系更正.

Recall: 连通性的基本概念

【定义】[连通性] $X$ 为一拓扑空间. 若 $X$ 的一对非空开子集 $U,V$ 满足 $U\cap V = \varnothing, U\cup V =X$, 则称 $U,V$ 是分离的, 它们构成 $X$ 的一个分解. 若 $X$ 存在这样的分解, 则称 $X$ 是不连通的, 否则称为连通的.

关于连通性有以下等价描述:

空间 $X$ 是连通的, 当且仅当除了 $X$ 自身和 $\varnothing$ 外, 不存在其他既开又闭的子集.

Note. 由于连通性的定义仅涉及到一族开子集之间的关系, 显然, 这个概念是一个拓扑概念. 事实上, 连通性具有遗传性, 同时在连续映射, 有限积下依然保持.

说明. 本文为以前学习拓扑学时的部分笔记, 现发布于博客中供参考备忘. 若有读者发现错漏之处, 敬请电邮联系更正.

首先在集合的层次上讨论积的概念, 然后再转向考虑积拓扑空间, 最后讨论了积空间紧性的问题.

集族的笛卡尔积

Note. 有限个集合的笛卡尔积被定义为有序数组的形式 $(x_1,\cdots,x_n)$, 其中 $x_{i} \in X_{i}$. 也可以将其视为一族 $X_1\times\cdots\times X_2$ 上的映射
$$\left\{x:{1,\cdots,n}\rightarrow X_1\cup\cdots\cup X_n\mid x(j)\in X_{j}, \forall j = 1,\cdots,n \right\}.$$
这个形式方便我们将笛卡尔积推广到一般的集族的情况上.

本Note收纳一些重要的关于 Lebesgue 积分的一些结论. 这里 $\Omega$ 总表示 $\mathbb{R}^n$ 中的开集, 具有 Lebesgue 测度 $dx$; $L^1(\Omega)$ 表示 $\Omega$ 上的可积函数空间.

Beppo Levi 单调收敛定理

设 ${f_n}$ 是 $L^1$ 中的递增序列(即 $\forall n, f_n\leqslant f_{n+1}~ a.e.$) 使得
$$\sup_{n}\int f_n <\infty,$$
那么 $f_n(x)$ 在 $\Omega$ 上几乎处处收敛, 记为 $f(x)$; 更进一步有 $f\in L^1$ 且 $|f_n- f|_{L^1}\rightarrow 0$.

Legesgue 控制收敛定理

设 ${f_n}$ 是 $L^1$ 中的函数序列. 假设

a) $f_n(x)\rightarrow f(x)$ a.e. 收敛于 $\Omega$ 中,

b) 存在函数 $g\in L^1$, 使得每个 $n$, $|f_n(x)|\leqslant g(x)$, a.e. 于 $\Omega$ 中.

则 $f\in L^1(\Omega)$, 并且 $|f_n-f|_{L^1}\rightarrow 0$.

在参加课题组组会, 做论文答辩, 乃至做学术讲座, 参加学术交流活动时, 能够做一场精彩生动的讲述或讲演, 是非常具有挑战性的一件事. 在和一众朋友交流问题时, 我也常因为准备不足而致使尴尬冷场. 作为一种沟通的技能, 我们有必要加以掌握.

所幸, 在阅读 AMS 的一系列博客时, 遇到一篇经验之谈, A Reflection on Giving Talks , 是作者在参与 Freie Universität 一场”软技能”研讨会后的总结思考, 读之深以为然. 在此写篇笔记, 以备日后所需.

关于Feynman 技巧

“If you can’t explain it simply, you don’t understand it well enough.”（如果你无法简单的解释一件事，说明你对这件事理解的还不够充分。）

这句话通常被认为来自于爱因斯坦。不论真假与否，这句话确实对于学习者有重要的启发。这就是Feynman 学习技巧的基本思想：

If you want to understand something well, try to explain it simply.

试着去用简单的语言表述一个概念的时候，我们很容易了解到自己对这个概念的理解程度，定位自己的疑问之处，在这些地方，我们会发现自己卡壳了或者不能用足够简单的语言去阐述。

费曼学习技巧是一种快速有效的目标学习法，这一方法不仅仅可以应用于数学、自然科学的学习，也适用于很多其他的需要理解和记忆的学科。

这里记录一些重要的群的例子, 以备参考.

常见的群的例子

这里给出一些重要的群的例子.

关于生成函数, 以下直接引用 wiki 百科上的介绍:

In mathematics, a generating function is a way of encoding an infinite sequence of numbers ($a_n$) by treating them as the coefficients of a formal power series. This series is called the generating function of the sequence.

Unlike an ordinary series, the formal power series is not required to converge: in fact, the generating function is not actually regarded as a function, and the “variable” remains an indeterminate. Generating functions were first introduced by Abraham de Moivre in 1730, in order to solve the general linear recurrence problem. One can generalize to formal power series in more than one indeterminate, to encode information about infinite multi-dimensional arrays of numbers.

正如这段介绍中所说, 生成函数就是描述数列的另一种不同的方法而已, 这种方法将整个序列视作了一个对象进行考虑, 更具体的说, 就是个幂级数, 其系数有着某些特定含义.

作为一篇小品, 本文只简单介绍一下生成函数定义, 并利用该方法研究斐波那契数列.

在复分析中的几何理论中, 有一个有趣而且重要的主题, 即共形映射. 其中有一类很自然的解析函数类——分式线性变换.

考虑以下有理函数

$$f(z) = \frac{az+b}{cz+d}$$

其中，$a,b,c,d$ 均为复数. 要使得以上函数具有良好的定义, 很自然, 需要要求 $c,d$ 不能同时为 $0$; 另一方面, 为了保证函数不会退化成常数函数, 则需要满足 $a/c \neq b/d$.

综合来说, 当以上有理函数满足 $ad-bc\neq 0$ 时, 我们称之为一个分式线性变换. 我们都知道:

• 分式线性变换的复合还是一个分式线性变换变换.
• 任何分式线性变换都可以表示为三种简单变换的复合, 即:平移、旋转、反演的复合.

关于分式线性变换的很多性质, 留到谈共形映射时再谈. 以下提供一个有意思的视角, 也许能帮助我们更容易的认识分式线性变换.

本文节选自 Robert S.Strichartz《分析方法》（ *The Way of Analysis* ），由虎头微分同学从英文原版翻译而来。

本书的目的之一在于让你明白书中所写的定理的证明。“理解”有很多不同的层次，达成一定程度的理解也要求你付出足够的努力。

“理解”的第一层次是你能够通读证明，并能确信其中的推理是正确的。证明中不需要“proof by intimidation”。你必须阅读论断的每一步骤，这意味着逐行审阅，检查所有展示出的细节，以及补全其中省略的细节。本书中，我将就可能把证明写的清晰一些，但是你在初次阅读时，可能依旧存在不理解的地方。在这些地方做上标记，继续往下阅读，之后在回过头来看看，在自己的努力下或是别人的帮助下，将这个证明看懂。

本文节选自 Robert S.Strichartz《分析方法》（ *The Way of Analysis* ），由虎头微分同学从英文原版翻译而来。

这一节主要谈谈“证明”。 不仅仅是你在课本中读到的证明，还有在习题中， 你被要求做的“证明”练习。

什么是证明？你又应该如何去寻找一个证明？你应该如何书写证明？ 如果你在开始数学学习之旅前已经想过这些问题的话，那么你一定发现了，关于这些问题并没有简单的答案。虽然在数学界就此在一定程度上达成了某种共识，，但在关于“哪些才是重点”这件事上，不同的意见依然存在。

什么是“证明”？

原则上，“证明”是从假设到待证明命题的系列逻辑推理。而命题通常是一个蕴含式：“$P$ 和 $Q$ 蕴含（推出） $R$。” 此时，我们有两个假设 $P$ 和 $Q$，以及一个结论 $R$。所有在表达式 $P$，$Q$，$R$ 中出现的对象，都必须是事先定义好的。所以，阅读（或寻找）一个证明的第一步，就是确保你完全理解了假设和结论，并记住了其中所有对象的定义。在书本中，有些前提假设可能被隐藏在细节条文中，务必一字一句仔细阅读。

这段时间用 Hexo 在重建自己的个人博客，发现文章中的公式一片狼藉，显然是换主题以后 MathJax 配置的锅。于是一不做二不休， 干脆去 MathJax 网站上仔细的看了一遍加载配置文档， 按着自己的需求配置了一遍 MathJax。

在我看来, 数学书籍(包括论文)是最晦涩难懂的读物.

数学这种东西, 一旦理解则非常简单明了,所以我读数学书的时候, 一般只看定理, 努力去理解定理, 然后自己独立思考数学证明. 不过大多数情况下都是百思不得其解, 最终只好参考书中的证明. 然而, 有些时候反复阅读证明过程也难解其意, 这种情况下, 便会尝试在笔记本中抄写这些数学证明.

逻辑学, 是一门既古老由年轻的学科. 说其老, 只有哲学和数学诞生在逻辑学之前; 说其年轻, 逻辑学从公元前, 古希腊的哲学思辨一直发展到今天, 依然在不断前进, 也为现代数学和计算机科学带来了新的发展. 千年以来, 逻辑学一直在承担着指导人类思维于行为的重要工具.

逻辑无处不在, 鉴于逻辑与哲学和数学的紧密联系, 很多人听到逻辑学, 首先想到的是一幕幕在”故纸堆中搜肠刮肚剖解语言的老学究”形象. 而现代人很多由于缺乏足够的逻辑思维的训练, 而陷入各种”谬误”之中, 更有与此伴随而来的”高级的”谣言等等, 不一而足.

不止一次和朋友谈到这些话题, 写下这篇短文, 尝试给”枯燥刻板的”逻辑学祛魅, 一起认识逻辑之有趣, 不亦乐乎.

矩阵的秩

矩阵的秩,是用于描述矩阵的一个重要的性质,它由行(列)向量组的极大线性无关组中包含的向量的个数来定义, 描述了矩阵的行(列)向量空间的维数. 关于一个矩阵 $A$ 的秩,有一点重要基本的性质:

**【定理】** 初等变换不改变矩阵的秩.进一步的,初等行(列)变换不改变矩阵任意列(行)之间的线性相关性.

继续线性代数矩阵部分的笔记。

矩阵的初等变换与分块运算

**定义**【初等变换】 以下三种对矩阵的操作, 每一种都称为对矩阵的进行的一次 **初等变换**. - 将矩阵的一行(列)与另一行(列)交换位置; - 将矩阵的某一行乘以一个非零倍数; - 将矩阵的一行(列)加到另一行(列)上去.

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 关于初等矩阵有以下性质:

从1858年 Cayley 建立起矩阵及其运算以来, 矩阵理论迅速的建立了起来. 矩阵论是数学中内容最丰富, 应用最广泛的部分之一. 矩阵是线性代数中最重要的工具, 贯穿于线性代数的始终. 矩阵论在航空航天, 军事, 信息处理, 人工智能, 金融, 生命科学, 社会科学等很多的领域都有非常重要的作用.

这一部分的笔记将对矩阵理论中的核心内容以及方法进行总结和复习. 假设本笔记的读者, 对于笔记中出现的各种概念并不陌生, 而矩阵定义以及一些运算(加法、乘法、转置)作为基本知识将不在此重述, 笔记将按照一个个独立的知识点组织. 对于一个点的相关知识和方法, 将来自于整个线性代数课程, 以使读者能够综合应用, 融会贯通.

这一部分主要集中讨论定义在闭区间上的一元实函数.

导数定义与性质

在此先给出定义在$\mathbb{R}$的子集上的可微函数的定义, 并给出计算导数的基本法则.

[定义][导数]

令$D\subset \mathbb{R}$,称函数$f:D\rightarrow \mathbb{R}$在点$x_0\in D$可微, 若满足:$$f’(x_0):= \lim_{\small\begin{array}{c}
x \rightarrow x_0 \
x \in D\setminus {x_0}\end{array}}
\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=
\lim_{\small\begin{array}{c}
h \rightarrow 0\
h \neq 0\
x_0 +h\in D\end{array}}
\frac{f(x_0 +h)-f(x_0)}{h}$$
存在. 有时也用符号$\frac{df}{dx}(x_0)$替代$f’(x_0)$, 称为函数$f$在点$x_0$处的\textbf{导数(微商)}.
若$\forall x \in D$, $f$皆可微, 则称函数$f$在$D$上是可微的.

在教学的过程中深得教学相长得益处, 其中不少是由于同学所提意见的影响, 我把所得到的一些不成熟的看法写在下面供同志们参考.

我讲书喜欢埋些伏笔, 有些重要的概念、重要的方法尽可能早地在具体的问题中提出, 并且不止一次地提出. 目的在于将来进一步学习的时候哦会比较容易接受高深的方法, 很可能某些高深的方法就是早已有之的朴素简单的方法法人抽象的加工而已.(有些深化了些, 有些并没有深化而仅仅是另一形式而已.)我也喜欢生书熟讲, 熟书生温的方法, 似乎是在温熟书, 但把新的东西讲进去了, 这是因为一般讲来, 生书比旧课, 真正原则性的添加并不太多的缘故. 找另一条线索把旧东西重新贯穿起来, 这样的温习方法容易发现我们究竟有哪些主要环节没有懂透. 有时分讲合温, 或合讲合温, 下先把一个机器的零件一一搞清, 再看全局, 或先看全部机器的作用和目的, 再分析要造成这个机器需要哪些零件而把条件一一讲明. “数”与”形”的”分”和”和”, “抽象”与”具体”的”分”与”合”都是在反复又反复的过程中不断提高的. 同学也要求讲讲”人家怎样想出来的”, 因而在讲书时也曾做过尝试, 主观的推测一下, 这可能并不是原来的想法, 但给出一条”这一步看下一步并不难, 连看几步就达到目的”的途径, 作为同学们的参考.

序列与极限

这里我们快速的过一遍关于数列与级数的这一些基础的内容.这些内容在复数域 $\mathbb{C}$ 上都是成立的.

度量空间 $X$ 中的序列 ${ x_n }$ 称收敛的, 当 $\exists x \in X$, $\forall \varepsilon >0$, $\exists N\in \mathbb{N}_+ $, $d(x_n, x)<\varepsilon$. 我们说序列 ${ x_n }$ 收敛于 $x$.记为
$$\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n} = x.$$
如果序列不收敛, 我们称其为发散的.