从属性
首先介绍函数从属性的概念. 这一概念,最早来自于 Lindelöf 在 1908 年给出的一个定理, 现在常称为 Lindelöf 原理.
我们设 均为 \mathbb{D} 中的解析函数. 若存在解析函数 \varphi: \mathbb{D}\rightarrow \mathbb{D}, 使得 \varphi(0) = 0 且 f = g\circ \varphi 对于一切 z\in \mathbb{D} 均成立, 则称 f 从属于 g, 记为 f\prec g.
事实上, 设 g(z) 为 \mathbb{D} 上的单叶解析函数, 满足g(0) = 0. 再设 f(z) 为 \mathbb{D} 上的解析函数, 其满足f(0) = 0, 并且 f 的值域落在 F 的值域中. 于是函数 \varphi(z) = g^{-1} \circ f 是 \mathbb{D} 上良定的解析函数, 并且满足 \varphi(0) = 0, 以及 |\varphi(z)|\leqslant 1. 由 Schwarz 引理, 上述条件等价于要求: |\varphi(z)|\leqslant |z| 且 f = g\circ w 对于一切 z\in \mathbb{D} 均成立.
几何直观上看, f\prec g 意味着对任意的闭圆盘 \overline{D(0,r)}, r\in(0,1) 在 f = g\circ \varphi 作用下的像, 都落在 g 对同一个圆盘作用的像中. 也可以说, 在某种意义下, f 比 g 要”小”. 而 Littlewood 从属定理正是对这一事实的精确表述.