申明: 本文来自于英文原著《How to think like a mathematician》部分内容节选, 由本人翻译而来. 仅供学习使用.

不要（盲目的）相信你读到的一切。—— Anon

与读过或者学习过一些一般的学术阅读技巧不同的是，数学的阅读往往有很多不一样的地方。在很多学科中，快速阅读都是一种非常有价值的学习技巧，但是对于数学来说却是非常糟糕的——数学的文字很少冗余，也没有什么华丽的辞藻，往往每一个词，每一个数学符号都是重要并且不可缺失的。

这里是对阅读数学书的一些提示，其中包括一系列系统的方法，帮助你将数学阅读掰成小块以便于消化。它们是一系列可供实践的方法建议，不应当被视为教条化的操作手册。其要点有以下两条：

• 养成灵活的阅读习惯——对于一个主题，尽可能阅读多种不同的处理方法；
• 阅读应当是一个动态的过程——应当做一个主动的阅读者，在阅读的同时带上纸笔，以供随时检查书本上内容，验证作者所声称的命题的正确性。

这后面的一点正是数学思维区别与其他很多学科（如历史、社会学）思维不同的地方。你需要在阅读过程中不断的去验证其中的每一个细节。而比如在历史学里，你不可能去验证凯撒是否真的在公元前 55 世纪入侵过不列颠，你只能去考察那些宣称这一历史事件发生的文献记录。但是在数学里，你真的可以去，并且应该去验证每一点事实。

在参加课题组组会, 做论文答辩, 乃至做学术讲座, 参加学术交流活动时, 能够做一场精彩生动的讲述或讲演, 是非常具有挑战性的一件事. 在和一众朋友交流问题时, 我也常因为准备不足而致使尴尬冷场. 作为一种沟通的技能, 我们有必要加以掌握.

所幸, 在阅读 AMS 的一系列博客时, 遇到一篇经验之谈, A Reflection on Giving Talks , 是作者在参与 Freie Universität 一场”软技能”研讨会后的总结思考, 读之深以为然. 在此写篇笔记, 以备日后所需.

关于Feynman 技巧

“If you can’t explain it simply, you don’t understand it well enough.”（如果你无法简单的解释一件事，说明你对这件事理解的还不够充分。）

这句话通常被认为来自于爱因斯坦。不论真假与否，这句话确实对于学习者有重要的启发。这就是Feynman 学习技巧的基本思想：

If you want to understand something well, try to explain it simply.

试着去用简单的语言表述一个概念的时候，我们很容易了解到自己对这个概念的理解程度，定位自己的疑问之处，在这些地方，我们会发现自己卡壳了或者不能用足够简单的语言去阐述。

费曼学习技巧是一种快速有效的目标学习法，这一方法不仅仅可以应用于数学、自然科学的学习，也适用于很多其他的需要理解和记忆的学科。

本文节选自 Robert S.Strichartz《分析方法》（ *The Way of Analysis* ），由虎头微分同学从英文原版翻译而来。

本书的目的之一在于让你明白书中所写的定理的证明。“理解”有很多不同的层次，达成一定程度的理解也要求你付出足够的努力。

“理解”的第一层次是你能够通读证明，并能确信其中的推理是正确的。证明中不需要“proof by intimidation”。你必须阅读论断的每一步骤，这意味着逐行审阅，检查所有展示出的细节，以及补全其中省略的细节。本书中，我将就可能把证明写的清晰一些，但是你在初次阅读时，可能依旧存在不理解的地方。在这些地方做上标记，继续往下阅读，之后在回过头来看看，在自己的努力下或是别人的帮助下，将这个证明看懂。

本文节选自 Robert S.Strichartz《分析方法》（ *The Way of Analysis* ），由虎头微分同学从英文原版翻译而来。

这一节主要谈谈“证明”。 不仅仅是你在课本中读到的证明，还有在习题中， 你被要求做的“证明”练习。

什么是证明？你又应该如何去寻找一个证明？你应该如何书写证明？ 如果你在开始数学学习之旅前已经想过这些问题的话，那么你一定发现了，关于这些问题并没有简单的答案。虽然在数学界就此在一定程度上达成了某种共识，，但在关于“哪些才是重点”这件事上，不同的意见依然存在。

什么是“证明”？

原则上，“证明”是从假设到待证明命题的系列逻辑推理。而命题通常是一个蕴含式：“$P$ 和 $Q$ 蕴含（推出） $R$。” 此时，我们有两个假设 $P$ 和 $Q$，以及一个结论 $R$。所有在表达式 $P$，$Q$，$R$ 中出现的对象，都必须是事先定义好的。所以，阅读（或寻找）一个证明的第一步，就是确保你完全理解了假设和结论，并记住了其中所有对象的定义。在书本中，有些前提假设可能被隐藏在细节条文中，务必一字一句仔细阅读。

在我看来, 数学书籍(包括论文)是最晦涩难懂的读物.

小平邦彦在他的《数学笔记》一文中说到:

数学这种东西, 一旦理解则非常简单明了,所以我读数学书的时候, 一般只看定理, 努力去理解定理, 然后自己独立思考数学证明. 不过大多数情况下都是百思不得其解, 最终只好参考书中的证明. 然而, 有些时候反复阅读证明过程也难解其意, 这种情况下, 便会尝试在笔记本中抄写这些数学证明.

在教学的过程中深得教学相长得益处, 其中不少是由于同学所提意见的影响, 我把所得到的一些不成熟的看法写在下面供同志们参考.

我讲书喜欢埋些伏笔, 有些重要的概念、重要的方法尽可能早地在具体的问题中提出, 并且不止一次地提出. 目的在于将来进一步学习的时候哦会比较容易接受高深的方法, 很可能某些高深的方法就是早已有之的朴素简单的方法法人抽象的加工而已.(有些深化了些, 有些并没有深化而仅仅是另一形式而已.)我也喜欢生书熟讲, 熟书生温的方法, 似乎是在温熟书, 但把新的东西讲进去了, 这是因为一般讲来, 生书比旧课, 真正原则性的添加并不太多的缘故. 找另一条线索把旧东西重新贯穿起来, 这样的温习方法容易发现我们究竟有哪些主要环节没有懂透. 有时分讲合温, 或合讲合温, 下先把一个机器的零件一一搞清, 再看全局, 或先看全部机器的作用和目的, 再分析要造成这个机器需要哪些零件而把条件一一讲明. “数”与”形”的”分”和”和”, “抽象”与”具体”的”分”与”合”都是在反复又反复的过程中不断提高的. 同学也要求讲讲”人家怎样想出来的”, 因而在讲书时也曾做过尝试, 主观的推测一下, 这可能并不是原来的想法, 但给出一条”这一步看下一步并不难, 连看几步就达到目的”的途径, 作为同学们的参考.