【习题来源】数学分析：第七版.（俄罗斯）卓里奇著；李植译. 北京：高等教育出版社，2019.2
习题
- 请证明：数 $x\in \mathbb{R}$ 是有理数的充要条件是，它在任何 q-进制计数法中是循环的，即从某一位数开始，它由一组周期性重复的数码组成。
【证明】 充分性: 若 $x$ 在任意 q-进制下是循环的, 设循环节长度为 $k$, 显然 $n = q^k x - x$ 为有限小数, 即 $n$ 为有理数, 那么由有理数对四则运算的封闭性, 可知 $x$ 也是有理数.
本文节选自 Robert S.Strichartz《分析方法》（ *The Way of Analysis* ），由虎头微分同学从英文原版翻译而来。
本书的目的之一在于让你明白书中所写的定理的证明。“理解”有很多不同的层次，达成一定程度的理解也要求你付出足够的努力。
“理解”的第一层次是你能够通读证明，并能确信其中的推理是正确的。证明中不需要“proof by intimidation”。你必须阅读论断的每一步骤，这意味着逐行审阅，检查所有展示出的细节，以及补全其中省略的细节。本书中，我将就可能把证明写的清晰一些，但是你在初次阅读时，可能依旧存在不理解的地方。在这些地方做上标记，继续往下阅读，之后在回过头来看看，在自己的努力下或是别人的帮助下，将这个证明看懂。
本文节选自 Robert S.Strichartz《分析方法》（ *The Way of Analysis* ），由虎头微分同学从英文原版翻译而来。
这一节主要谈谈“证明”。 不仅仅是你在课本中读到的证明，还有在习题中， 你被要求做的“证明”练习。
什么是证明？你又应该如何去寻找一个证明？你应该如何书写证明？ 如果你在开始数学学习之旅前已经想过这些问题的话，那么你一定发现了，关于这些问题并没有简单的答案。虽然在数学界就此在一定程度上达成了某种共识，，但在关于“哪些才是重点”这件事上，不同的意见依然存在。
什么是“证明”？
原则上，“证明”是从假设到待证明命题的系列逻辑推理。而命题通常是一个蕴含式：“$P$ 和 $Q$ 蕴含（推出） $R$。” 此时，我们有两个假设 $P$ 和 $Q$，以及一个结论 $R$。所有在表达式 $P$，$Q$，$R$ 中出现的对象，都必须是事先定义好的。所以，阅读（或寻找）一个证明的第一步，就是确保你完全理解了假设和结论，并记住了其中所有对象的定义。在书本中，有些前提假设可能被隐藏在细节条文中，务必一字一句仔细阅读。
