【习题来源】数学分析：第七版.（俄罗斯）卓里奇著；李植译. 北京：高等教育出版社，2019.2

5. 请证明

• a) 当 $n\leqslant 2$ 时, 以下等式成立: \begin{array}{l} & 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\frac{1}{n!n}\\ = & 3 - \frac{1}{1\cdot 2\cdot 2!}-\cdots -\frac{1}{(n-1)n\cdot n!}.\end{array}
• b) $$e = 3 - \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+2)!}.$$
• c) 为近似计算 $e$, 公式 $$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\frac{1}{n!n}$$ 远好于原来的公式 $$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}.$$

【习题来源】数学分析：第七版.（俄罗斯）卓里奇著；李植译. 北京：高等教育出版社，2019.2

4. 表达式 $$n_1 + \frac{1}{n_2 + \frac{1}{\begin{matrix} n_3 + \ddots & \\ & \frac{1}{n_{k-1}+\frac{1}{n_k}}\end{matrix}}},$$其中 $n_i\in\mathbb{N}$, 称为链式分数或有限连分数, 而表达式 $$n_1 + \frac{1}{n_2 + \frac{1}{n_3 + \ddots}}$$称为无穷连分数. 在一个连分数中去掉某个链开始的所有分数, 所得分数称为这个连分数的渐进分数. 无穷连分数的渐进分数序列极限是该无穷连分数的值.
   关于连分数的基本性质, 参考 Continued Fraction.
   请证明:

【习题来源】数学分析：第七版.（俄罗斯）卓里奇著；李植译. 北京：高等教育出版社，2019.2

习题

1. 请证明：数 $x\in \mathbb{R}$ 是有理数的充要条件是，它在任何 q-进制计数法中是循环的，即从某一位数开始，它由一组周期性重复的数码组成。

【证明】 充分性: 若 $x$ 在任意 q-进制下是循环的, 设循环节长度为 $k$, 显然 $n = q^k x - x$ 为有限小数, 即 $n$ 为有理数, 那么由有理数对四则运算的封闭性, 可知 $x$ 也是有理数.

逻辑学, 是一门既古老由年轻的学科. 说其老, 只有哲学和数学诞生在逻辑学之前; 说其年轻, 逻辑学从公元前, 古希腊的哲学思辨一直发展到今天, 依然在不断前进, 也为现代数学和计算机科学带来了新的发展. 千年以来, 逻辑学一直在承担着指导人类思维于行为的重要工具.

逻辑无处不在, 鉴于逻辑与哲学和数学的紧密联系, 很多人听到逻辑学, 首先想到的是一幕幕在”故纸堆中搜肠刮肚剖解语言的老学究”形象. 而现代人很多由于缺乏足够的逻辑思维的训练, 而陷入各种”谬误”之中, 更有与此伴随而来的”高级的”谣言等等, 不一而足.

不止一次和朋友谈到这些话题, 写下这篇短文, 尝试给”枯燥刻板的”逻辑学祛魅, 一起认识逻辑之有趣, 不亦乐乎.

矩阵的秩

矩阵的秩,是用于描述矩阵的一个重要的性质,它由行(列)向量组的极大线性无关组中包含的向量的个数来定义, 描述了矩阵的行(列)向量空间的维数. 关于一个矩阵 $A$ 的秩,有一点重要基本的性质:

**【定理】** 初等变换不改变矩阵的秩.进一步的,初等行(列)变换不改变矩阵任意列(行)之间的线性相关性.

继续线性代数矩阵部分的笔记。

矩阵的初等变换与分块运算

**定义**【初等变换】 以下三种对矩阵的操作, 每一种都称为对矩阵的进行的一次 **初等变换**. - 将矩阵的一行(列)与另一行(列)交换位置; - 将矩阵的某一行乘以一个非零倍数; - 将矩阵的一行(列)加到另一行(列)上去.

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 关于初等矩阵有以下性质:

从1858年 Cayley 建立起矩阵及其运算以来, 矩阵理论迅速的建立了起来. 矩阵论是数学中内容最丰富, 应用最广泛的部分之一. 矩阵是线性代数中最重要的工具, 贯穿于线性代数的始终. 矩阵论在航空航天, 军事, 信息处理, 人工智能, 金融, 生命科学, 社会科学等很多的领域都有非常重要的作用.

这一部分的笔记将对矩阵理论中的核心内容以及方法进行总结和复习. 假设本笔记的读者, 对于笔记中出现的各种概念并不陌生, 而矩阵定义以及一些运算(加法、乘法、转置)作为基本知识将不在此重述, 笔记将按照一个个独立的知识点组织. 对于一个点的相关知识和方法, 将来自于整个线性代数课程, 以使读者能够综合应用, 融会贯通.

这一部分主要集中讨论定义在闭区间上的一元实函数.

导数定义与性质

在此先给出定义在$\mathbb{R}$的子集上的可微函数的定义, 并给出计算导数的基本法则.

[定义][导数]

令$D\subset \mathbb{R}$,称函数$f:D\rightarrow \mathbb{R}$在点$x_0\in D$可微, 若满足:$$f’(x_0):= \lim_{\small\begin{array}{c}
x \rightarrow x_0 \
x \in D\setminus {x_0}\end{array}}
\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=
\lim_{\small\begin{array}{c}
h \rightarrow 0\
h \neq 0\
x_0 +h\in D\end{array}}
\frac{f(x_0 +h)-f(x_0)}{h}$$
存在. 有时也用符号$\frac{df}{dx}(x_0)$替代$f’(x_0)$, 称为函数$f$在点$x_0$处的\textbf{导数(微商)}.
若$\forall x \in D$, $f$皆可微, 则称函数$f$在$D$上是可微的.

序列与极限

这里我们快速的过一遍关于数列与级数的这一些基础的内容.这些内容在复数域 $\mathbb{C}$ 上都是成立的.

度量空间 $X$ 中的序列 ${ x_n }$ 称收敛的, 当 $\exists x \in X$, $\forall \varepsilon >0$, $\exists N\in \mathbb{N}_+ $, $d(x_n, x)<\varepsilon$. 我们说序列 ${ x_n }$ 收敛于 $x$.记为
$$\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n} = x.$$
如果序列不收敛, 我们称其为发散的.

看到一道不难但是很有意思的综合性习题. 好吧, 事实上这是 2017 年中山大学研究生入学考试[高等代数]科目的最后一道题. 这道题将数学分析和高等代数的知识结合在一起, 值得一看. 也作为自己对相关知识点的一个小小的复习. 下面就是原题题目.