本Note收纳一些重要的关于 Lebesgue 积分的一些结论. 这里 $\Omega$ 总表示 $\mathbb{R}^n$ 中的开集, 具有 Lebesgue 测度 $dx$; $L^1(\Omega)$ 表示 $\Omega$ 上的可积函数空间.

Beppo Levi 单调收敛定理

设 ${f_n}$ 是 $L^1$ 中的递增序列(即 $\forall n, f_n\leqslant f_{n+1}~ a.e.$) 使得
$$\sup_{n}\int f_n <\infty,$$
那么 $f_n(x)$ 在 $\Omega$ 上几乎处处收敛, 记为 $f(x)$; 更进一步有 $f\in L^1$ 且 $|f_n- f|_{L^1}\rightarrow 0$.

Legesgue 控制收敛定理

设 ${f_n}$ 是 $L^1$ 中的函数序列. 假设

a) $f_n(x)\rightarrow f(x)$ a.e. 收敛于 $\Omega$ 中,

b) 存在函数 $g\in L^1$, 使得每个 $n$, $|f_n(x)|\leqslant g(x)$, a.e. 于 $\Omega$ 中.

则 $f\in L^1(\Omega)$, 并且 $|f_n-f|_{L^1}\rightarrow 0$.

内容节选自 from J. Rotman’s Galois Theory - Appendix 1. 仅供学习时备忘使用.

Abelian Group. A group in which multiplication is commutative.

Alternating Group $A_n$. The subgroup of $S_n$ consisting of all the even permutations. it has order $\frac{1}{2}n!$.

Associativity. For all $x,y,z$, one has $(xy)z=x(yz)$. it follows that one does not need parentheses for any product of three or more factors.

Automorphism. An isomorphism of a group with itself.

Commutativity. For all $x,y$, one has $xy=yx$.

这是一些常用到的不等式,和大概的证明方法.部分方法很重要.