$L^p$ 空间基本知识1-关于 Lebesgue 积分的一些结论

本Note收纳一些重要的关于 Lebesgue 积分的一些结论. 这里 $\Omega$ 总表示 $\mathbb{R}^n$ 中的开集, 具有 Lebesgue 测度 $dx$; $L^1(\Omega)$ 表示 $\Omega$ 上的可积函数空间.

Beppo Levi 单调收敛定理

设 ${f_n}$ 是 $L^1$ 中的递增序列(即 $\forall n, f_n\leqslant f_{n+1}~ a.e.$) 使得
$$\sup_{n}\int f_n <\infty,$$
那么 $f_n(x)$ 在 $\Omega$ 上几乎处处收敛, 记为 $f(x)$; 更进一步有 $f\in L^1$ 且 $|f_n- f|_{L^1}\rightarrow 0$.

Legesgue 控制收敛定理

设 ${f_n}$ 是 $L^1$ 中的函数序列. 假设

a) $f_n(x)\rightarrow f(x)$ a.e. 收敛于 $\Omega$ 中,

b) 存在函数 $g\in L^1$, 使得每个 $n$, $|f_n(x)|\leqslant g(x)$, a.e. 于 $\Omega$ 中.

则 $f\in L^1(\Omega)$, 并且 $|f_n-f|_{L^1}\rightarrow 0$.

Fatou 引理

设 ${f_n}$ 是 $L^1$ 中的函数序列使得

a) $\forall n, ~f_n(x)\geqslant 0$ a.e. 于 $\Omega$ 中;

b) $\sup_{n}\int f_n <\infty$;

$\forall x\in \Omega$, 令 $f(x) = \liminf_{n\rightarrow\infty}f_n(x)$, 则 $f\in L^1(\Omega)$, 并且
$$\int f \leqslant \liminf_{n\rightarrow \infty}\int f_n.$$

记号. 用 $C_c(\Omega)$ 表示 $\Omega$ 上具有紧支撑集的连续函数空间, 即
$$C_c(\Omega) = {f\in C(\Omega)\mid f(x)=0~\forall \Omega\backslash K, \text{其中} K=\text{supp} f \text{ 为紧集} }.$$

稠密性定理

空间 $C_c(\Omega)$ 在 $L^1(\Omega)$ 中稠密. 即 $\forall f\in L^1(\Omega)$, $\forall \varepsilon>0$, $\exists f_1\in C_c(\Omega)$ 使得 $|f_n-f|_{L^1}<\varepsilon$.

Tonelli 定理

设 $\Omega_1\subset \mathbb{R}^{N_1}$, $\Omega_2\subset \mathbb{R}^{N_2}$ 为开集, $F:\Omega_1\times\Omega_2\longrightarrow\mathbb{R}$ 为可测函数. 若
$$\int_{\Omega_2}|F(x,y)|dy<\infty \text{ a.e. } x\in \Omega_1,$$
且
$$\int_{\Omega_1}\int_{\Omega_2}|F(x,y)|dy<\infty,$$
那么 $F\in L^1(\Omega_1\times\Omega_2)$.

Fubini 定理

设 $F\in L^1(\Omega_1\times\Omega_2)$, 则
$$F(x,y)\in L^1_y(\Omega_2) \text{ 且 }\int_{\Omega_2}F(x,y)dy\in L^1_x(\Omega_1) \text{\quad a.e. } x\in \Omega_1.$$
同样的,
$$F(x,y)\in L^1_x(\Omega_1) \text{ 且 }\int_{\Omega_1}F(x,y)dx\in L^1_y(\Omega_2) \text{\quad a.e. } y\in \Omega_2.$$
并且有
$$\int_{\Omega_1}dx\int_{\Omega_2}F(x,y)dy = \int_{\Omega_2}dy\int_{\Omega_1}F(x,y)dx =\iint_{\Omega_1\times\Omega_2}F(x,y)dxdy.$$