笔记: 一些常用不等式

这是一些常用到的不等式,和大概的证明方法.部分方法很重要.

Bernoulli 不等式

设 $h>-1$, $n\in \mathbb{N}_{+}$, 则
$$(1+h)^{n}\geqslant 1+nh.$$
其中当 $n>1$ 时等号成立的充分必要条件为 $h=0$.

将其推广为双参数形式: 令 $h=\frac{B}{A}$, $A\neq 0$ 且 $A+B>0$, 则
$$(A+B)^{n}\geqslant A^{n}+nA^{n-1}B.$$
当 $n>1$ 时等号成立的充分必要条件为 $B=0$

说明: 这个不等式的证明, 只需要将 $(1+h)^{n}-1$ 进行因式分解并讨论就可以了.

均值不等式

设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 是 $n$ 个非负实数, 则成立不等式
$$\frac{a_{1}+ a_{2}+ \cdots+ a_{n}}{n} \geqslant \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}$$
其中等号成立的充分必要条件是 $a_{1}= a_{2}= \cdots= a_{n}$.

说明: 均值不等式有多种证明方法,其中一种很有趣的方法是使用 Cauchy 于 1897 年给出的利用向前向后(Forward and Backward)数学归纳法.

Cauchy 不等式

对于实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 和 $b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$ 成立
$$\left| \sum_{i=1}^{n} {a_{i} b_{i} } \right| \leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^{n}{a_{i}^{2}}}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{b_{i}^{2}}}.$$
式中等号成立的充分必要条件为, 这两个序列成比例.

说明: 构造法证明. 引入变量 $x\in \mathbb{R}^{1}$, 构造二次三项式 $\sum_{i=1}^{n}(xa_{i}-b_{i})^2$, 利用根判别式得到结果. 利用柯西不等式, 可以得到以下闵可夫斯基不等式:

Minkovwski 不等式

对于实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 和$b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$ 成立
$$\left[ \sum_{i=1}^{n}{(a_{i}+b_{i})^{2}}\right]^{\frac{1}{2}} \leqslant \left(\sum_{i=1}^{n}{a_{i}^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\sum_{i=1}^{n}{b_{i}^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}.$$