经典等周问题的复分析证明

经典等周问题的复分析证明

关于等周不等式的历史

直接引用文献中对于等周问题的介绍:

最早的几何不等式应该是著名的等周不等式, 该不等式具有悠久的历史. 等周问题最早由著名数学家 Joham Beynoulli 在 1679 年提出, 从等周定理的提出到现在, 人们关于等周问题的研究讨论从未停止过, 研究成果不断的推陈出新, 使得等周型不等式的研究领域欣欣向荣, 可以说等周定理是数学史上被证明次数最多的定理之一…

从实用性的角度来看, 在数学家正式提出等周定理之前, 人类乃至动物界已经在不自觉地使用这个定理了, 比如:人们使用定长的绳子圈地的过程中, 当绳子以圆形的方式圈地时, 得到的土地面积最大; 在寒冷的冬季, 人类或者动物会缩成一团, 为的就是在体积一定的情况下, 尽量缩小自己的表面积, 减小热量的损失;在物理中, 等周不等式问题和跟所谓的最小作用量有关, 一个直观的表现就是水珠的形状, 在没有外力的情况下(如失重的太空舱里), 水珠的形状是完全对称的球体, 这是因为当水珠体积一定时, 表面张力会迫使水珠的表面积达到最小值, 根据等周不等式的原理, 最小值在水珠形状为球状时达到…

等周不等式的一个经典的证明是利用变分方法, 本文中介绍由复分析, 调和分析领域著名数学家 Carleman 给出的复分析证明. 由此出发, 也引出了一系列函数空间理论上的问题之研究.

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复分析学习笔记 - Littlewood 从属定理

从属性

首先介绍函数从属性的概念. 这一概念,最早来自于 Lindelöf 在 1908 年给出的一个定理, 现在常称为 Lindelöf 原理.

我们设 f,g 均为 D 中的解析函数. 若存在解析函数 φ:DD, 使得 φ(0)=0f=gφ 对于一切 zD 均成立, 则称 f 从属于 g, 记为 fg.

事实上, 设 g(z)D 上的单叶解析函数, 满足g(0)=0. 再设 f(z)D 上的解析函数, 其满足f(0)=0, 并且 f 的值域落在 F 的值域中. 于是函数 φ(z)=g1fD 上良定的解析函数, 并且满足 φ(0)=0, 以及 |φ(z)|1. 由 Schwarz 引理, 上述条件等价于要求: |φ(z)||z|f=gw 对于一切 zD 均成立.

几何直观上看, fg 意味着对任意的闭圆盘 D(0,r)¯,r(0,1)f=gφ 作用下的像, 都落在 g 对同一个圆盘作用的像中. 也可以说, 在某种意义下, fg 要”小”. 而 Littlewood 从属定理正是对这一事实的精确表述.

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三圆定理

凸函数

可进一步参考Convex Function of a Real Variable 以及 Convex Function of a Complex Variable.

Definition.
I 为区间, 函数 f:IR 称为(下)凸函数, 若 x1,x2I (不妨设x1<x2), t(0,1), 有以下不等式成立:
f((1t)x1+tx2)(1t)f(x1)+tf(x2).
AC 称为凸集, 若 z,wA, 0t1, 点 tz+(1t)wA.

f(x) 为凸函数的条件可以等价的写成: x1,x2,x3I, 满足 x1<x3<x2, 有
(x2x1)f(x3)(x2x3)f(x1)+(x3x1)f(x2).
上式也可以写成
|f(x1)x11f(x2)x21f(x3)x31|0

凸函数(Convex)的几何意义是明显的. 即其上任意两点的连线, 必然位于两点之间函数图像的上方. 相对应的, 不等号反向的情况下称其为 Concave (上凸).

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泛函中的重要定理之 Hahn-Banach 定理

个人学习笔记整理而来, 内容如有错漏欢迎电邮联系. a collection of personal math notes.

Hahn-Banach Theorem is one of the core theorems of linear functional analysis. The Hahn-Banach Theorem in Vector Space is also called Analytic Form of Hahn-Banach Theorem. Two corollaries are especially important: Hahn-Banach Theorem in Normed Vector Space, and Geometric Form of Hahn-Banach Theorem.

Analytic Form

定理.[Hahn-Banach Theorem in Real Vector Space]

Let X be a real vector space, and p is a sublinear functional in X, that is, p:XR is a function satisfies the following properties:

p(αx)=αp(x),α>0 and xX,p(x+y)p(x)+p(y)x,yX.
And let Y be a subspace of X, l:YR is a linear functional in Y which satisfies
l(y)q(y),yY.
Then there exists a linear functional j~:XR, such that
l~(y)=l(y),yY. and l~(y)p(x),xX.

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关于连通性的简单讨论

关于连通性的简单讨论

说明. 本文为以前学习拓扑学时的部分笔记, 现发布于博客中供参考备忘. 若有读者发现错漏之处, 敬请电邮联系更正.

Recall: 连通性的基本概念

【定义】[连通性] X 为一拓扑空间. 若 X 的一对非空开子集 U,V 满足 UV=,UV=X, 则称 U,V 是分离的, 它们构成 X 的一个分解. 若 X 存在这样的分解, 则称 X不连通的, 否则称为连通的.

关于连通性有以下等价描述:

空间 X 是连通的, 当且仅当除了 X 自身和 外, 不存在其他既开又闭的子集.

Note. 由于连通性的定义仅涉及到一族开子集之间的关系, 显然, 这个概念是一个拓扑概念. 事实上, 连通性具有遗传性, 同时在连续映射, 有限积下依然保持.

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