LpLp 空间基本知识1-关于 Lebesgue 积分的一些结论

本Note收纳一些重要的关于 Lebesgue 积分的一些结论. 这里 ΩΩ 总表示 RnRn 中的开集, 具有 Lebesgue 测度 dxdx; L1(Ω)L1(Ω) 表示 ΩΩ 上的可积函数空间.

Beppo Levi 单调收敛定理

fnfnL1L1 中的递增序列(即 n,fnfn+1 a.e.n,fnfn+1 a.e.) 使得
supnfn<,supnfn<,
那么 fn(x)fn(x)ΩΩ 上几乎处处收敛, 记为 f(x)f(x); 更进一步有 fL1fL1|fnf|L10|fnf|L10.

Legesgue 控制收敛定理

fnfnL1L1 中的函数序列. 假设

a) fn(x)f(x)fn(x)f(x) a.e. 收敛于 ΩΩ 中,

b) 存在函数 gL1gL1, 使得每个 nn, |fn(x)|g(x)|fn(x)|g(x), a.e. 于 ΩΩ 中.

fL1(Ω)fL1(Ω), 并且 |fnf|L10|fnf|L10.

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