LpLp 空间基本知识1-关于 Lebesgue 积分的一些结论
本Note收纳一些重要的关于 Lebesgue 积分的一些结论. 这里 ΩΩ 总表示 RnRn 中的开集, 具有 Lebesgue 测度 dxdx; L1(Ω)L1(Ω) 表示 ΩΩ 上的可积函数空间.
Beppo Levi 单调收敛定理
设 fnfn 是 L1L1 中的递增序列(即 ∀n,fn⩽fn+1 a.e.∀n,fn⩽fn+1 a.e.) 使得
supn∫fn<∞,supn∫fn<∞,
那么 fn(x)fn(x) 在 ΩΩ 上几乎处处收敛, 记为 f(x)f(x); 更进一步有 f∈L1f∈L1 且 |fn−f|L1→0|fn−f|L1→0.
Legesgue 控制收敛定理
设 fnfn 是 L1L1 中的函数序列. 假设
a) fn(x)→f(x)fn(x)→f(x) a.e. 收敛于 ΩΩ 中,
b) 存在函数 g∈L1g∈L1, 使得每个 nn, |fn(x)|⩽g(x)|fn(x)|⩽g(x), a.e. 于 ΩΩ 中.
则 f∈L1(Ω)f∈L1(Ω), 并且 |fn−f|L1→0|fn−f|L1→0.