说明. 本文为以前学习拓扑学时的部分笔记, 现发布于博客中供参考备忘. 若有读者发现错漏之处, 敬请电邮联系更正.

Recall: 连通性的基本概念

【定义】[连通性] $X$ 为一拓扑空间. 若 $X$ 的一对非空开子集 $U,V$ 满足 $U\cap V = \varnothing, U\cup V =X$, 则称 $U,V$ 是分离的, 它们构成 $X$ 的一个分解. 若 $X$ 存在这样的分解, 则称 $X$ 是不连通的, 否则称为连通的.

关于连通性有以下等价描述:

空间 $X$ 是连通的, 当且仅当除了 $X$ 自身和 $\varnothing$ 外, 不存在其他既开又闭的子集.

Note. 由于连通性的定义仅涉及到一族开子集之间的关系, 显然, 这个概念是一个拓扑概念. 事实上, 连通性具有遗传性, 同时在连续映射, 有限积下依然保持.

说明. 本文为以前学习拓扑学时的部分笔记, 现发布于博客中供参考备忘. 若有读者发现错漏之处, 敬请电邮联系更正.

首先在集合的层次上讨论积的概念, 然后再转向考虑积拓扑空间, 最后讨论了积空间紧性的问题.

集族的笛卡尔积

Note. 有限个集合的笛卡尔积被定义为有序数组的形式 $(x_1,\cdots,x_n)$, 其中 $x_{i} \in X_{i}$. 也可以将其视为一族 $X_1\times\cdots\times X_2$ 上的映射
$$\left\{x:{1,\cdots,n}\rightarrow X_1\cup\cdots\cup X_n\mid x(j)\in X_{j}, \forall j = 1,\cdots,n \right\}.$$
这个形式方便我们将笛卡尔积推广到一般的集族的情况上.