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【习题来源】数学分析：第七版.（俄罗斯）卓里奇著；李植译. 北京：高等教育出版社，2019.2

习题

1. 请证明：数 $x\in \mathbb{R}$ 是有理数的充要条件是，它在任何 q-进制计数法中是循环的，即从某一位数开始，它由一组周期性重复的数码组成。

【证明】 充分性: 若 $x$ 在任意 q-进制下是循环的, 设循环节长度为 $k$, 显然 $n = q^k x - x$ 为有限小数, 即 $n$ 为有理数, 那么由有理数对四则运算的封闭性, 可知 $x$ 也是有理数.