虎头微分同学的Blog

这一部分主要集中讨论定义在闭区间上的一元实函数.

导数定义与性质

在此先给出定义在$\mathbb{R}$的子集上的可微函数的定义, 并给出计算导数的基本法则.

[定义][导数]

令$D\subset \mathbb{R}$,称函数$f:D\rightarrow \mathbb{R}$在点$x_0\in D$可微, 若满足: $$f’(x_0):= \lim_{\small\begin{array}{c} x \rightarrow x_0 \ x \in D\setminus {x_0}\end{array}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}= \lim_{\small\begin{array}{c} h \rightarrow 0\ h \neq 0\ x_0 +h\in D\end{array}} \frac{f(x_0 +h)-f(x_0)}{h}$$
存在. 有时也用符号$\frac{df}{dx}(x_0)$替代$f’(x_0)$, 称为函数$f$在点$x_0$处的\textbf{导数(微商)}.
若$\forall x \in D$, $f$皆可微, 则称函数$f$在$D$上是可微的.