数学分析习题解-序列极限(3)

【习题来源】数学分析:第七版.(俄罗斯)卓里奇著;李植译. 北京:高等教育出版社,2019.2

  1. 请证明
  • a) 当 n2 时, 以下等式成立: 1+11!+12!++1n!+1n!n=31122!1(n1)nn!.
  • b) e=3n=01(n+1)(n+2)(n+2)!.
  • c) 为近似计算 e, 公式 1+11!+12!++1n!+1n!n 远好于原来的公式 1+11!+12!++1n!.
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数学分析习题解-序列极限(2):连分数

【习题来源】数学分析:第七版.(俄罗斯)卓里奇著;李植译. 北京:高等教育出版社,2019.2

  1. 表达式 n1+1n2+1n3+1nk1+1nk,其中 niN, 称为链式分数或有限连分数, 而表达式 n1+1n2+1n3+称为无穷连分数. 在一个连分数中去掉某个链开始的所有分数, 所得分数称为这个连分数的渐进分数. 无穷连分数的渐进分数序列极限是该无穷连分数的值.
    关于连分数的基本性质, 参考 Continued Fraction.
    请证明:
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数学分析习题解-序列极限(1)

数学分析习题解-序列极限(1)

【习题来源】数学分析:第七版.(俄罗斯)卓里奇著;李植译. 北京:高等教育出版社,2019.2

习题

  1. 请证明:数 xR 是有理数的充要条件是,它在任何 q-进制计数法中是循环的,即从某一位数开始,它由一组周期性重复的数码组成。

【证明】 充分性: 若 x 在任意 q-进制下是循环的, 设循环节长度为 k, 显然 n=qkxx 为有限小数, 即 n 为有理数, 那么由有理数对四则运算的封闭性, 可知 x 也是有理数.

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