数学分析习题解-一致收敛性、函数项级数与函数族的基本运算(2)
【习题来源】数学分析:第七版.(俄罗斯)卓里奇著;李植译. 北京:高等教育出版社,2019.2
- 请研究下列级数当实参数 α 取各种值时在集合 E⊂R 上的收敛性.
a) ∞∑n=1cosnxnα;
b) ∞∑n=1sinnxnα.
【解】 显然, 上述两个级数在 α⩽0 时不收敛, 在 α>1 时绝对一致收敛(强函数检验法). 考虑在 0<α⩽1 时的情况.
数学分析习题解-一致收敛性、函数项级数与函数族的基本运算(2)
【习题来源】数学分析:第七版.(俄罗斯)卓里奇著;李植译. 北京:高等教育出版社,2019.2
- 请研究下列级数当实参数 α 取各种值时在集合 E⊂R 上的收敛性.
a) ∞∑n=1cosnxnα;
b) ∞∑n=1sinnxnα.
【解】 显然, 上述两个级数在 α⩽0 时不收敛, 在 α>1 时绝对一致收敛(强函数检验法). 考虑在 0<α⩽1 时的情况.
数学分析习题解-一致收敛性、函数项级数与函数族的基本运算(1)
【习题来源】数学分析:第七版.(俄罗斯)卓里奇著;李植译. 北京:高等教育出版社,2019.2
- 以下函数序列是否一致收敛?
a) fn=sinnxx2
b) fn=2(n+1)x(1−x2)n
c) fn=lim
【解】 考察 \Delta _n := \sup _{x\in E}|f(x) - f_n(x)| 在 n\rightarrow \infty 时的情况即可. 容易得到 a) 一致收敛, b)、c) 不一致收敛. Q.E.D.