三圆定理

凸函数

可进一步参考Convex Function of a Real Variable 以及 Convex Function of a Complex Variable.

Definition.
I 为区间, 函数 f:IR 称为(下)凸函数, 若 x1,x2I (不妨设x1<x2), t(0,1), 有以下不等式成立:
f((1t)x1+tx2)(1t)f(x1)+tf(x2).
AC 称为凸集, 若 z,wA, 0t1, 点 tz+(1t)wA.

f(x) 为凸函数的条件可以等价的写成: x1,x2,x3I, 满足 x1<x3<x2, 有
(x2x1)f(x3)(x2x3)f(x1)+(x3x1)f(x2).
上式也可以写成
|f(x1)x11f(x2)x21f(x3)x31|0

凸函数(Convex)的几何意义是明显的. 即其上任意两点的连线, 必然位于两点之间函数图像的上方. 相对应的, 不等号反向的情况下称其为 Concave (上凸).

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