虎头微分同学的Blog

凸函数

可进一步参考Convex Function of a Real Variable 以及 Convex Function of a Complex Variable.

Definition.
$I$ 为区间, 函数 $f: I\rightarrow \mathbb{R}$ 称为(下)凸函数, 若 $\forall x_1, x_2 \in I$ (不妨设$x_1 < x_2$), $\forall t\in (0,1)$, 有以下不等式成立:
$$f((1-t)x_1+tx_2) \leqslant (1-t)f(x_1) + tf(x_2).$$
集 $A\in \mathbb{C}$ 称为凸集, 若 $\forall z,w \in A$, $\forall 0\leqslant t\leqslant 1$, 点 $tz + (1-t)w \in A$.

$f(x)$ 为凸函数的条件可以等价的写成: $\forall x_1, x_2, x_3\in I$, 满足 $x_1 < x_3 < x_2$, 有
$$\begin{equation} (x_2 - x_1) f(x_3) \leqslant (x_2 - x_3) f(x_1) + (x_3 - x_1) f(x_2). \end{equation}$$
上式也可以写成
$$\begin{equation} \left|\begin{matrix} f(x_1) & x_1 & 1 \\ f(x_2) & x_2 & 1 \\ f(x_3) & x_3 & 1 \\ \end{matrix}\right| \geqslant 0 \end{equation}$$

凸函数(Convex)的几何意义是明显的. 即其上任意两点的连线, 必然位于两点之间函数图像的上方. 相对应的, 不等号反向的情况下称其为 Concave (上凸).