从属性

首先介绍函数从属性的概念. 这一概念,最早来自于 Lindelöf 在 1908 年给出的一个定理, 现在常称为 Lindelöf 原理.

我们设 $f, g$ 均为 $\mathbb{D}$ 中的解析函数. 若存在解析函数 $\varphi: \mathbb{D}\rightarrow \mathbb{D}$, 使得 $\varphi(0) = 0$ 且 $f = g\circ \varphi$ 对于一切 $z\in \mathbb{D}$ 均成立, 则称 $f$ 从属于 $g$, 记为 $f\prec g$.

事实上, 设 $g(z)$ 为 $\mathbb{D}$ 上的单叶解析函数, 满足$g(0) = 0$. 再设 $f(z)$ 为 $\mathbb{D}$ 上的解析函数, 其满足$f(0) = 0$, 并且 $f$ 的值域落在 $F$ 的值域中. 于是函数 $\varphi(z) = g^{-1} \circ f$ 是 $\mathbb{D}$ 上良定的解析函数, 并且满足 $\varphi(0) = 0$, 以及 $|\varphi(z)|\leqslant 1$. 由 Schwarz 引理, 上述条件等价于要求: $|\varphi(z)|\leqslant |z|$ 且 $f = g\circ w$ 对于一切 $z\in \mathbb{D}$ 均成立.

几何直观上看, $f\prec g$ 意味着对任意的闭圆盘 $\overline{D(0,r)}, r\in(0,1)$ 在 $f = g\circ \varphi$ 作用下的像, 都落在 $g$ 对同一个圆盘作用的像中. 也可以说, 在某种意义下, $f$ 比 $g$ 要”小”. 而 Littlewood 从属定理正是对这一事实的精确表述.

在复分析中的几何理论中, 有一个有趣而且重要的主题, 即共形映射. 其中有一类很自然的解析函数类——分式线性变换.

考虑以下有理函数

$$f(z) = \frac{az+b}{cz+d}$$

其中，$a,b,c,d$ 均为复数. 要使得以上函数具有良好的定义, 很自然, 需要要求 $c,d$ 不能同时为 $0$; 另一方面, 为了保证函数不会退化成常数函数, 则需要满足 $a/c \neq b/d$.

综合来说, 当以上有理函数满足 $ad-bc\neq 0$ 时, 我们称之为一个分式线性变换. 我们都知道:

• 分式线性变换的复合还是一个分式线性变换变换.
• 任何分式线性变换都可以表示为三种简单变换的复合, 即:平移、旋转、反演的复合.

关于分式线性变换的很多性质, 留到谈共形映射时再谈. 以下提供一个有意思的视角, 也许能帮助我们更容易的认识分式线性变换.