续上一篇 数学分析习题解-函数极限(1). 这一部分习题主要涉及无穷乘积.

7. 请证明:
   a) 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\ln a_n$ (其中 $a_n>0, n\in\mathbb{N}$) 收敛的充要条件是数列 $\{\prod_{n} = a_1\cdots a_n\}$ 有非零极限.
   
   b) 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\ln(1+a_n)$ (其中 $|a_n|<1$) 绝对收敛的充要条件是级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 绝对收敛.

【证明】
a) 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\ln a_n$ 收敛, 则 $n\rightarrow\infty$ 时, $\sum_{k=1}^{n}\ln a_k = \ln(\Pi_n)$ 有极限. 由自然对数的性质立刻得知 $n\rightarrow\infty$ 时 $\Pi_n$ 趋于非零极限. 这些步骤都是可逆的, 必要性和充分性由此可以得到.

b) 由 $n\rightarrow\infty$ 时 $\ln (1+a_n)\sim a_n$ ($|a_n|<1$), 由前面的题 5 可知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}|\ln(1+a_n)|$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ 同时敛散. 故待证命题成立. Q.E.D.

【习题来源】数学分析：第七版.（俄罗斯）卓里奇著；李植译. 北京：高等教育出版社，2019.2

习题

1. a) 请证明: 在 $\mathbb{R}$ 上定义且满足以下要求的函数存在并且是唯一的:
   $$\begin{array}{c} f(1)=a\quad(a>0, a\neq 1),\\ f(x_1)\cdot f(x_2)=f(x_1+x_2),\\ x\rightarrow x_0, f(x)\rightarrow f(x_0). \end{array}$$
   b) 请证明: 在 $\mathbb{R_+}$ 上定义且满足以下要求的函数存在并且是唯一的:
   $$\begin{array}{c} f(1)=a\quad(a>0, a\neq 1),\\ f(x_1)\cdot f(x_2)=f(x_1+x_2),\\ x_0\in \mathbb{R_+}, \mathbb{R_+}\ni x\rightarrow x_0, f(x)\rightarrow f(x_0). \end{array}$$