续上一篇 数学分析习题解-函数极限(1). 这一部分习题主要涉及无穷乘积.

7. 请证明:
   a) 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\ln a_n$ (其中 $a_n>0, n\in\mathbb{N}$) 收敛的充要条件是数列 $\{\prod_{n} = a_1\cdots a_n\}$ 有非零极限.
   
   b) 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\ln(1+a_n)$ (其中 $|a_n|<1$) 绝对收敛的充要条件是级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 绝对收敛.

【证明】
a) 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\ln a_n$ 收敛, 则 $n\rightarrow\infty$ 时, $\sum_{k=1}^{n}\ln a_k = \ln(\Pi_n)$ 有极限. 由自然对数的性质立刻得知 $n\rightarrow\infty$ 时 $\Pi_n$ 趋于非零极限. 这些步骤都是可逆的, 必要性和充分性由此可以得到.

b) 由 $n\rightarrow\infty$ 时 $\ln (1+a_n)\sim a_n$ ($|a_n|<1$), 由前面的题 5 可知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}|\ln(1+a_n)|$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ 同时敛散. 故待证命题成立. Q.E.D.

【习题来源】数学分析：第七版.（俄罗斯）卓里奇著；李植译. 北京：高等教育出版社，2019.2

习题

1. a) 请证明: 在 $\mathbb{R}$ 上定义且满足以下要求的函数存在并且是唯一的:
   $$\begin{array}{c} f(1)=a\quad(a>0, a\neq 1),\\ f(x_1)\cdot f(x_2)=f(x_1+x_2),\\ x\rightarrow x_0, f(x)\rightarrow f(x_0). \end{array}$$
   b) 请证明: 在 $\mathbb{R_+}$ 上定义且满足以下要求的函数存在并且是唯一的:
   $$\begin{array}{c} f(1)=a\quad(a>0, a\neq 1),\\ f(x_1)\cdot f(x_2)=f(x_1+x_2),\\ x_0\in \mathbb{R_+}, \mathbb{R_+}\ni x\rightarrow x_0, f(x)\rightarrow f(x_0). \end{array}$$

这里, 我们利用实数理论以及极限理论来完整的定义指数函数, 对数函数以及幂函数的定义.

指数函数 $a^x$

设 $a>1$.

1. 对于 $n\in \mathbb{N}$, 归纳的定义 $a^1 = a, a^{n+1}=a^n\cdot a^1$, 这样我们就在 $\mathbb{N}$ 上定义了函数 $a^n$, 同时可以看出, 函数具有性质$a^m/a^n = a^{m-n}(m,n\in \mathbb{N}, m>n)$.
2. 由上面这个性质, 我们可以自然的定义 $a^0: = 1, a^{-n} = 1/a^n$. 于是, $a^n$ 的定义自然的拓展到了整数集 $\mathbb{Z}$ 上. $\forall n,m\in \mathbb{Z}, a^n\cdot a^m = a^{n+m}$.
3. 由实数理论, 我们知道 $\forall a> 0, n\in\mathbb{N},\exists \text{唯一的}x>0 (x^n = a)$. 用 $x = a^{1/n}$ 表示数 $a$ 的 $n$ 次方根. 这一记法保留了指数的加法规则. 于是我们可以进一步定义 $a^{m/n}(m,n\in\mathbb{N})$. 即对于 $r\in\mathbb{Q}$ 定义了 $a^r$.
4. 由归纳原理, 可以验证 $\forall x>0, y>0, n\in\mathbb{N}$ 时有 $(x< y)\Leftrightarrow(x^n< y^n)$ 和 $(x= y)\Leftrightarrow(x^n= y^n)$.
5. 由此我们可以证明有理指数的运算法则, 并得到 $\forall r_1,r_2\in \mathbb{Q}, a^{r_1}\cdot a^{r^2} = a^{r_1+r_2}$.
6. 由 4. 知 $r_1,r_2\in \mathbb{Q}, (r_1<r_2)\Leftrightarrow (a^{r_1}< a^{r^2})$.

【习题来源】数学分析：第七版.（俄罗斯）卓里奇著；李植译. 北京：高等教育出版社，2019.2

5. 请证明

• a) 当 $n\leqslant 2$ 时, 以下等式成立: $$\begin{array}{l} & 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\frac{1}{n!n}\\ = & 3 - \frac{1}{1\cdot 2\cdot 2!}-\cdots -\frac{1}{(n-1)n\cdot n!}.\end{array}$$
• b) $$e = 3 - \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+2)!}.$$
• c) 为近似计算 $e$, 公式 $$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\frac{1}{n!n}$$ 远好于原来的公式 $$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}.$$

【习题来源】数学分析：第七版.（俄罗斯）卓里奇著；李植译. 北京：高等教育出版社，2019.2

4. 表达式 $$n_1 + \frac{1}{n_2 + \frac{1}{\begin{matrix} n_3 + \ddots & \\ & \frac{1}{n_{k-1}+\frac{1}{n_k}}\end{matrix}}},$$ 其中 $n_i\in\mathbb{N}$, 称为链式分数或有限连分数, 而表达式 $$n_1 + \frac{1}{n_2 + \frac{1}{n_3 + \ddots}}$$ 称为无穷连分数. 在一个连分数中去掉某个链开始的所有分数, 所得分数称为这个连分数的渐进分数. 无穷连分数的渐进分数序列极限是该无穷连分数的值.
   关于连分数的基本性质, 参考 Continued Fraction.
   请证明: