复分析学习笔记 - Littlewood 从属定理
从属性
首先介绍函数从属性的概念. 这一概念,最早来自于 Lindelöf 在 1908 年给出的一个定理, 现在常称为 Lindelöf 原理.
我们设 f,g 均为 D 中的解析函数. 若存在解析函数 φ:D→D, 使得 φ(0)=0 且 f=g∘φ 对于一切 z∈D 均成立, 则称 f 从属于 g, 记为 f≺g.
事实上, 设 g(z) 为 D 上的单叶解析函数, 满足g(0)=0. 再设 f(z) 为 D 上的解析函数, 其满足f(0)=0, 并且 f 的值域落在 F 的值域中. 于是函数 φ(z)=g−1∘f 是 D 上良定的解析函数, 并且满足 φ(0)=0, 以及 |φ(z)|⩽1. 由 Schwarz 引理, 上述条件等价于要求: |φ(z)|⩽|z| 且 f=g∘w 对于一切 z∈D 均成立.
几何直观上看, f≺g 意味着对任意的闭圆盘 ¯D(0,r),r∈(0,1) 在 f=g∘φ 作用下的像, 都落在 g 对同一个圆盘作用的像中. 也可以说, 在某种意义下, f 比 g 要”小”. 而 Littlewood 从属定理正是对这一事实的精确表述.
Recall: 调和函数与次调和函数
在介绍从属定理之前, 先回顾一些调和函数与次调和函数的基本内容.
以下直接以平均值性质定义调和函数.
定义. 若 f(z) 是区域 U⊂C 内的连续实值函数, 且对于 U 内的每一点 a 存在正数 R, 使得 |z−a|<R 位于 U 内, 有
f(a)=12π∫2π0f(a+reiθ)dθ(0<r<R),
则称 f(z) 在 U 内调和.
接着定义次调和函数.
定义. U⊂C 是复平面上的一个区域. 对于任意连通开集 E, 且其满足 ¯E⊂U, 以及定义在 E 中的可连续延拓至 ¯E 上的调和函数 g(z), 函数 f 称为 U 上的次调和函数, 若 f(z)⩽g(z),∀z∈∂E 成立, 则有 f(z)⩽g(z),∀z∈E 成立.
次调和函数具有以下局部次平均值性质:
设 f 为 U∈C 上的实值连续函数. f 是次调和的, 当且仅当 ∀¯D(z0,r)⊂U, f 满足
f(z0)⩽12π∫2π0f(z0+reiθ)dθ.
- 次调和函数的一个重要例子: 设 0<p<∞, 函数 f 在开集U⊂C 中解析, 易知 |f|p 在 U 上是次调和的.
从属定理
有了以上准备, 我们现在叙述并证明从属定理.
Littlewood 从属定理.
设 f,g 均为 D 中的解析函数. 若 f≺g, 则有
∫2π0|f(reiθ)|pdθ⩽∫2π0|g(reiθ)|pdθ,∀r∈[0,1), p∈(0,∞].
证明. f≺g, 由定义, 存在解析函数 φ:D→D, 使得 φ(0)=0 且 f=g∘φ 对于一切 z∈D 成立. 固定 r∈(0,1), 并令 h(z) 为定义在 |z|<r 上的调和函数, 在 |z|=r 上的边值为 |g(z)|p. 由于 |g|p 在 D 上次调和, 故而 |g(z)|p⩽h(z) 对所有 |z|⩽r 成立. 由 Schwarz 引理, φ 将 |z|<r 映射到自身, 故而
|f|p=|g(φ(z))|p⩽h(φ(z))
对所有 |z|⩽r 成立. 于是, 由 h(φ(z)) 是调和函数得到
12π∫2π0|f(reiθ)|pdθ⩽12π∫2π0h(φ(reiθ))dθ=h(φ(0))=h(0)=12π∫2π0h(reiθ)dθ=12π∫2π0|g(reiθ)|pdθ.
应用
作为一个简单的应用, 我们用从属定理证明 Mp(r,f):=(12π∫2π0|f(reiθ)|pdθ)1/2 关于 r 的单调性.
任取 0<r1<r2<1. 令 s=r1/r2∈(0,1). 取
f(z)=f(ssz)=f1s(sz)=F(w(z)),
其中 F(z)=f1s(z),w(z)=sz.故而 f≺F 并且 r1∈(0,1). 由 Littlewood 从属定理立刻得到 Mp(r1,f)⩽Mp(r1,F)=Mp(r2,f).很多解析函数空间上复合算子的有界性本质上就是从属定理.(有时间再补).
复分析学习笔记 - Littlewood 从属定理
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