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复分析学习笔记 - Littlewood 从属定理

从属性

首先介绍函数从属性的概念. 这一概念,最早来自于 Lindelöf 在 1908 年给出的一个定理, 现在常称为 Lindelöf 原理.

我们设 f,g 均为 D 中的解析函数. 若存在解析函数 φ:DD, 使得 φ(0)=0f=gφ 对于一切 zD 均成立, 则称 f 从属于 g, 记为 fg.

事实上, 设 g(z)D 上的单叶解析函数, 满足g(0)=0. 再设 f(z)D 上的解析函数, 其满足f(0)=0, 并且 f 的值域落在 F 的值域中. 于是函数 φ(z)=g1fD 上良定的解析函数, 并且满足 φ(0)=0, 以及 |φ(z)|. 由 Schwarz 引理, 上述条件等价于要求: |\varphi(z)|\leqslant |z|f = g\circ w 对于一切 z\in \mathbb{D} 均成立.

几何直观上看, f\prec g 意味着对任意的闭圆盘 \overline{D(0,r)}, r\in(0,1)f = g\circ \varphi 作用下的像, 都落在 g 对同一个圆盘作用的像中. 也可以说, 在某种意义下, fg 要”小”. 而 Littlewood 从属定理正是对这一事实的精确表述.

Recall: 调和函数与次调和函数

在介绍从属定理之前, 先回顾一些调和函数与次调和函数的基本内容.

以下直接以平均值性质定义调和函数.

定义.f(z) 是区域 U\subset\mathbb{C} 内的连续实值函数, 且对于 U 内的每一点 a 存在正数 R, 使得 |z-a|<R 位于 U 内, 有
f(a)=12π02πf(a+reiθ)dθ(0<r<R),\begin{equation} f(a) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f\left(a+re^{i\theta}\right)d\theta \quad (0<r<R), \end{equation}
则称 f(z)U调和.

接着定义次调和函数.

定义. U\subset \mathbb{C} 是复平面上的一个区域. 对于任意连通开集 E, 且其满足 \overline{E}\subset U, 以及定义在 E 中的可连续延拓至 \overline{E} 上的调和函数 g(z), 函数 f 称为 U 上的次调和函数, 若 f(z)\leqslant g(z), \forall z \in \partial E 成立, 则有 f(z)\leqslant g(z), \forall z \in E 成立.

次调和函数具有以下局部次平均值性质:

fU\in \mathbb{C} 上的实值连续函数. f 是次调和的, 当且仅当 \forall \overline{D(z_0, r)}\subset U, f 满足
f(z0)12π02πf(z0+reiθ)dθ.\begin{equation} f(z_0)\leqslant \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f\left(z_0+re^{i\theta}\right)d\theta. \end{equation}

  • 次调和函数的一个重要例子: 设 0<p<\infty, 函数 f 在开集U\subset\mathbb{C} 中解析, 易知 |f|^pU 上是次调和的.

从属定理

有了以上准备, 我们现在叙述并证明从属定理.

Littlewood 从属定理.
f, g 均为 \mathbb{D} 中的解析函数. 若 f\prec g, 则有
\int_0^{2\pi}|f(re^{i\theta})|^p d\theta \leqslant \int_0^{2\pi}|g(re^{i\theta})|^p d\theta, \quad \forall r\in [0,1),~ p\in(0, \infty].

证明. f\prec g, 由定义, 存在解析函数 \varphi: \mathbb{D}\rightarrow \mathbb{D}, 使得 \varphi(0) = 0f = g\circ \varphi 对于一切 z\in \mathbb{D} 成立. 固定 r\in(0,1), 并令 h(z) 为定义在 |z|<r 上的调和函数, 在 |z|=r 上的边值为 |g(z)|^p. 由于 |g|^p\mathbb{D} 上次调和, 故而 |g(z)|^p \leqslant h(z) 对所有 |z|\leqslant r 成立. 由 Schwarz 引理, \varphi|z|<r 映射到自身, 故而
|f|^p = |g(\varphi(z))|^p \leqslant h(\varphi(z))
对所有 |z|\leqslant r 成立. 于是, 由 h(\varphi(z)) 是调和函数得到
\begin{eqnarray} \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(re^{i\theta})|^p d\theta &\leqslant& \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} h(\varphi(re^{i\theta})) d\theta \\ &=& h(\varphi(0)) = h(0) \\ &=& \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} h(re^{i\theta}) d\theta \\ &=& \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|g(re^{i\theta})|^p d\theta \end{eqnarray}.

应用

  1. 作为一个简单的应用, 我们用从属定理证明 M_p(r,f) : = \left(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(re^{i\theta})|^p d\theta\right)^{1/2} 关于 r 的单调性.

    任取 0 < r_1 < r_2 < 1. 令 s = r1/r2 \in (0, 1). 取
    f(z) = f\left(\frac{s}{s}z\right) = f_{\frac{1}{s}}(sz) = F(w(z)),
    其中 F (z) = f_{\frac{1}{s}}(z),\quad w(z) = sz.故而 f\prec F 并且 r_1 \in (0, 1). 由 Littlewood 从属定理立刻得到 M_p (r_1, f) \leqslant M_p(r_1 , F) = M_p(r_2, f).

  2. 很多解析函数空间上复合算子的有界性本质上就是从属定理.(有时间再补).

作者

Zengfk

发布于

2023-05-25

更新于

2023-05-25

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