复分析学习笔记 - Littlewood 从属定理

从属性

首先介绍函数从属性的概念. 这一概念,最早来自于 Lindelöf 在 1908 年给出的一个定理, 现在常称为 Lindelöf 原理.

我们设 $f, g$ 均为 $\mathbb{D}$ 中的解析函数. 若存在解析函数 $\varphi: \mathbb{D}\rightarrow \mathbb{D}$, 使得 $\varphi(0) = 0$ 且 $f = g\circ \varphi$ 对于一切 $z\in \mathbb{D}$ 均成立, 则称 $f$ 从属于 $g$, 记为 $f\prec g$.

事实上, 设 $g(z)$ 为 $\mathbb{D}$ 上的单叶解析函数, 满足$g(0) = 0$. 再设 $f(z)$ 为 $\mathbb{D}$ 上的解析函数, 其满足$f(0) = 0$, 并且 $f$ 的值域落在 $F$ 的值域中. 于是函数 $\varphi(z) = g^{-1} \circ f$ 是 $\mathbb{D}$ 上良定的解析函数, 并且满足 $\varphi(0) = 0$, 以及 $|\varphi(z)|\leqslant 1$. 由 Schwarz 引理, 上述条件等价于要求: $|\varphi(z)|\leqslant |z|$ 且 $f = g\circ w$ 对于一切 $z\in \mathbb{D}$ 均成立.

几何直观上看, $f\prec g$ 意味着对任意的闭圆盘 $\overline{D(0,r)}, r\in(0,1)$ 在 $f = g\circ \varphi$ 作用下的像, 都落在 $g$ 对同一个圆盘作用的像中. 也可以说, 在某种意义下, $f$ 比 $g$ 要”小”. 而 Littlewood 从属定理正是对这一事实的精确表述.

Recall: 调和函数与次调和函数

在介绍从属定理之前, 先回顾一些调和函数与次调和函数的基本内容.

以下直接以平均值性质定义调和函数.

定义. 若 $f(z)$ 是区域 $U\subset\mathbb{C}$ 内的连续实值函数, 且对于 $U$ 内的每一点 $a$ 存在正数 $R$, 使得 $|z-a|<R$ 位于 $U$ 内, 有
$$\begin{equation}
f(a) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f\left(a+re^{i\theta}\right)d\theta \quad (0<r<R),
\end{equation}$$
则称 $f(z)$ 在 $U$ 内调和.

接着定义次调和函数.

定义. $U\subset \mathbb{C}$ 是复平面上的一个区域. 对于任意连通开集 $E$, 且其满足 $\overline{E}\subset U$, 以及定义在 $E$ 中的可连续延拓至 $\overline{E}$ 上的调和函数 $g(z)$, 函数 $f$ 称为 $U$ 上的次调和函数, 若 $f(z)\leqslant g(z), \forall z \in \partial E$ 成立, 则有 $f(z)\leqslant g(z), \forall z \in E$ 成立.

次调和函数具有以下局部次平均值性质:

设 $f$ 为 $U\in \mathbb{C}$ 上的实值连续函数. $f$ 是次调和的, 当且仅当 $\forall \overline{D(z_0, r)}\subset U$, $f$ 满足
$$\begin{equation}
f(z_0)\leqslant \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f\left(z_0+re^{i\theta}\right)d\theta.
\end{equation}$$

• 次调和函数的一个重要例子: 设 $0<p<\infty$, 函数 $f$ 在开集$U\subset\mathbb{C}$ 中解析, 易知 $|f|^p$ 在 $U$ 上是次调和的.

从属定理

有了以上准备, 我们现在叙述并证明从属定理.

Littlewood 从属定理.
设 $f, g$ 均为 $\mathbb{D}$ 中的解析函数. 若 $f\prec g$, 则有
$$\int_0^{2\pi}|f(re^{i\theta})|^p d\theta \leqslant \int_0^{2\pi}|g(re^{i\theta})|^p d\theta, \quad \forall r\in [0,1),~ p\in(0, \infty].$$

证明. $f\prec g$, 由定义, 存在解析函数 $\varphi: \mathbb{D}\rightarrow \mathbb{D}$, 使得 $\varphi(0) = 0$ 且 $f = g\circ \varphi$ 对于一切 $z\in \mathbb{D}$ 成立. 固定 $r\in(0,1)$, 并令 $h(z)$ 为定义在 $|z|<r$ 上的调和函数, 在 $|z|=r$ 上的边值为 $|g(z)|^p$. 由于 $|g|^p$ 在 $\mathbb{D}$ 上次调和, 故而 $|g(z)|^p \leqslant h(z)$ 对所有 $|z|\leqslant r$ 成立. 由 Schwarz 引理, $\varphi$ 将 $|z|<r$ 映射到自身, 故而
$$|f|^p = |g(\varphi(z))|^p \leqslant h(\varphi(z))$$
对所有 $|z|\leqslant r$ 成立. 于是, 由 $h(\varphi(z))$ 是调和函数得到
$$\begin{eqnarray}
\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(re^{i\theta})|^p d\theta &\leqslant& \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} h(\varphi(re^{i\theta})) d\theta \\
&=& h(\varphi(0)) = h(0) \\
&=& \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} h(re^{i\theta}) d\theta \\
&=& \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|g(re^{i\theta})|^p d\theta
\end{eqnarray}.$$

应用

1. 作为一个简单的应用, 我们用从属定理证明 $M_p(r,f) : = \left(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(re^{i\theta})|^p d\theta\right)^{1/2}$ 关于 $r$ 的单调性.

   任取 $0 < r_1 < r_2 < 1$. 令 $s = r1/r2 \in (0, 1)$. 取
   $$f(z) = f\left(\frac{s}{s}z\right) = f_{\frac{1}{s}}(sz) = F(w(z)),$$
   其中 $F (z) = f_{\frac{1}{s}}(z),\quad w(z) = sz$.故而 $f\prec F$ 并且 $r_1 \in (0, 1)$. 由 Littlewood 从属定理立刻得到 $M_p (r_1, f) \leqslant M_p(r_1 , F) = M_p(r_2, f)$.

2. 很多解析函数空间上复合算子的有界性本质上就是从属定理.(有时间再补).