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复分析学习笔记 - Littlewood 从属定理

从属性

首先介绍函数从属性的概念. 这一概念,最早来自于 Lindelöf 在 1908 年给出的一个定理, 现在常称为 Lindelöf 原理.

我们设 f,g 均为 D 中的解析函数. 若存在解析函数 φ:DD, 使得 φ(0)=0f=gφ 对于一切 zD 均成立, 则称 f 从属于 g, 记为 fg.

事实上, 设 g(z)D 上的单叶解析函数, 满足g(0)=0. 再设 f(z)D 上的解析函数, 其满足f(0)=0, 并且 f 的值域落在 F 的值域中. 于是函数 φ(z)=g1fD 上良定的解析函数, 并且满足 φ(0)=0, 以及 |φ(z)|1. 由 Schwarz 引理, 上述条件等价于要求: |φ(z)||z|f=gw 对于一切 zD 均成立.

几何直观上看, fg 意味着对任意的闭圆盘 ¯D(0,r),r(0,1)f=gφ 作用下的像, 都落在 g 对同一个圆盘作用的像中. 也可以说, 在某种意义下, fg 要”小”. 而 Littlewood 从属定理正是对这一事实的精确表述.

Recall: 调和函数与次调和函数

在介绍从属定理之前, 先回顾一些调和函数与次调和函数的基本内容.

以下直接以平均值性质定义调和函数.

定义.f(z) 是区域 UC 内的连续实值函数, 且对于 U 内的每一点 a 存在正数 R, 使得 |za|<R 位于 U 内, 有
f(a)=12π2π0f(a+reiθ)dθ(0<r<R),
则称 f(z)U调和.

接着定义次调和函数.

定义. UC 是复平面上的一个区域. 对于任意连通开集 E, 且其满足 ¯EU, 以及定义在 E 中的可连续延拓至 ¯E 上的调和函数 g(z), 函数 f 称为 U 上的次调和函数, 若 f(z)g(z),zE 成立, 则有 f(z)g(z),zE 成立.

次调和函数具有以下局部次平均值性质:

fUC 上的实值连续函数. f 是次调和的, 当且仅当 ¯D(z0,r)U, f 满足
f(z0)12π2π0f(z0+reiθ)dθ.

  • 次调和函数的一个重要例子: 设 0<p<, 函数 f 在开集UC 中解析, 易知 |f|pU 上是次调和的.

从属定理

有了以上准备, 我们现在叙述并证明从属定理.

Littlewood 从属定理.
f,g 均为 D 中的解析函数. 若 fg, 则有
2π0|f(reiθ)|pdθ2π0|g(reiθ)|pdθ,r[0,1), p(0,].

证明. fg, 由定义, 存在解析函数 φ:DD, 使得 φ(0)=0f=gφ 对于一切 zD 成立. 固定 r(0,1), 并令 h(z) 为定义在 |z|<r 上的调和函数, 在 |z|=r 上的边值为 |g(z)|p. 由于 |g|pD 上次调和, 故而 |g(z)|ph(z) 对所有 |z|r 成立. 由 Schwarz 引理, φ|z|<r 映射到自身, 故而
|f|p=|g(φ(z))|ph(φ(z))
对所有 |z|r 成立. 于是, 由 h(φ(z)) 是调和函数得到
12π2π0|f(reiθ)|pdθ12π2π0h(φ(reiθ))dθ=h(φ(0))=h(0)=12π2π0h(reiθ)dθ=12π2π0|g(reiθ)|pdθ.

应用

  1. 作为一个简单的应用, 我们用从属定理证明 Mp(r,f):=(12π2π0|f(reiθ)|pdθ)1/2 关于 r 的单调性.

    任取 0<r1<r2<1. 令 s=r1/r2(0,1). 取
    f(z)=f(ssz)=f1s(sz)=F(w(z)),
    其中 F(z)=f1s(z),w(z)=sz.故而 fF 并且 r1(0,1). 由 Littlewood 从属定理立刻得到 Mp(r1,f)Mp(r1,F)=Mp(r2,f).

  2. 很多解析函数空间上复合算子的有界性本质上就是从属定理.(有时间再补).

作者

Zengfk

发布于

2023-05-25

更新于

2023-05-25

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