三圆定理

凸函数

可进一步参考Convex Function of a Real Variable 以及 Convex Function of a Complex Variable.

Definition.
$I$ 为区间, 函数 $f: I\rightarrow \mathbb{R}$ 称为(下)凸函数, 若 $\forall x_1, x_2 \in I$ (不妨设$x_1 < x_2$), $\forall t\in (0,1)$, 有以下不等式成立:
$$f((1-t)x_1+tx_2) \leqslant (1-t)f(x_1) + tf(x_2).$$
集 $A\in \mathbb{C}$ 称为凸集, 若 $\forall z,w \in A$, $\forall 0\leqslant t\leqslant 1$, 点 $tz + (1-t)w \in A$.

$f(x)$ 为凸函数的条件可以等价的写成: $\forall x_1, x_2, x_3\in I$, 满足 $x_1 < x_3 < x_2$, 有
$$\begin{equation} (x_2 - x_1) f(x_3) \leqslant (x_2 - x_3) f(x_1) + (x_3 - x_1) f(x_2). \end{equation}$$
上式也可以写成
$$\begin{equation} \left|\begin{matrix} f(x_1) & x_1 & 1 \\ f(x_2) & x_2 & 1 \\ f(x_3) & x_3 & 1 \\ \end{matrix}\right| \geqslant 0 \end{equation}$$

凸函数(Convex)的几何意义是明显的. 即其上任意两点的连线, 必然位于两点之间函数图像的上方. 相对应的, 不等号反向的情况下称其为 Concave (上凸).

设 $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ 是凸函数, 其有以下几个基本性质(利用相关定义容易得到):

1. $f$ 在 $I$ 内连续;
2. $f$ 在 $I$ 内每一点处均有左右导数, 且左导数不超过右导数;
3. $f$ 在 $I$ 内的左右导数都是递增的.

命题 1. 函数 $f: I\rightarrow \mathbb{R}$ 是凸的当且仅当集合 $A = {(x,y) : a\leqslant x \leqslant y, f(x)\leqslant y}$ 为凸集.

证明. 先说明必要性. 设函数 $f: I\rightarrow \mathbb{R}$ 是凸的, 并令 $(x_1,y_1), (x_2,y_2)\in A$. 对于 $0\leqslant t \leqslant 1$, 由凸函数及凸集的定义有
$$f((1-t)x_1+tx_2) \leqslant (1-t)f(x_1) + tf(x_2) \leqslant (1-t)y_1 + ty_2.$$
故而 $(1-t)(x_1,y_1) + t(x_2,y_2) = ((1-t)x_1+tx_2, (1-t)y_1 + ty_2)\in A$. 故 $A$ 是凸的.

接着说明充分性. 设 $A$ 是一个凸集, 令 $_1, x_2\in I$. 则对于 $0\leqslant t \leqslant 1$, 有 $((1-t)x_1+tx_2, (1-t)y_1 + ty_2)\in A$. 再由 $A$ 的定义得到 $f((1-t)x_1+tx_2) \leqslant (1-t)f(x_1) + tf(x_2)$, 这便说明 $f$ 是凸函数.

命题 2. (a) 函数 $f: I\rightarrow \mathbb{R}$ 是凸的当且仅当对于任意点 $x_1,\cdots,x_n\in[a,b]$, 以及实数 $t_1,\cdots, t_n \geqslant 0$, 其满足 $\sum_{k=1}^n t_k = 1$, 有
$$f\left( \sum_{k=1}^n t_k x_k \right)\leqslant \sum_{k=1}^n t_k f(x_k).$$
(b) 集 $A\in \mathbb{C}$ 是凸集当且仅当对于任意点 $z_1,\cdots,z_n\in A$, 以及实数 $t_1,\cdots, t_n \geqslant 0$, 其满足 $\sum_{k=1}^n t_k = 1$, 有 $\sum_{k=1}^n t_k z_k \in A.$

命题 3. 设函数 $f: I\rightarrow \mathbb{R}$ 是可微函数, 则 $f$ 是凸函数当且仅当 $f’$ 是递增的.

证明.
必要性由凸函数的基本性质即可得到. 接着说明充分性. 任取 $x_1, x_2 \in I$, 不妨设 $x_1 < x_2$, 并取 $x_3 = (1-t)x_1 + t x_2$. 由中值定理, $\exists x’\in (x_1, x_3), \exists x’’\in (x_3,x_2)$ 使得
$$\frac{f(x_3) - f(x_1)}{x_3 - x_1} = f’(x’) \leqslant f’(x’’) = \frac{f(x_2) - f(x_3)}{x_2 - x_3}.$$
对上式整理后即得到结论.

三直线定理与三圆定理

这一部分要探讨这样一类函数: 其本身是非凸的, 但却是对数凸(logarithmically convex)的, i.e.它的对数是凸函数. 这里假设所考虑的函数均是非负的. 容易看到, 对数凸的函数必然是凸函数 但是反之不一定(一个反例就是: $f:\mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R}_{+}, f(x) = x^2$. 这个函数是凸的, 但是 $\log x^2$ 却不是凸的. ). 关于此有以下的两个定理. 而 G. Doetsch 将这一结果转移到了带型的函数中, 得到了三直线定理. 这里先证明较容易的三直线定理, 然后用其证明三圆定理..

Note. 函数 $f$ 是对数凸的, i.e. $\log f$ 是凸的, , 而 $e^x$ 是凸函数, 两个凸函数的复合函数 $f = e^{\log f}$ 必然是凸的.

Theorem(三直线定理). 设实数 $a,b$ 满足 $a < b$, 以及 $G = {z = x+iy: a < x < b, y\in \mathbb{R}}$. 设 $f: \overline{G}\rightarrow \mathbb{C}$ 连续, 在 $G$ 内解析. 定义
$$M(x) = \sup_{-\infty< y< +\infty} { |f(x+iy)| }.$$
若 $\forall z \in G$, 有 $|f(z)|< B$, 则 $\log M$ 是凸函数.

为证明定理, 这里先证明一个引理, 这是最大模原理的的一个推论.

Lemma. $f$ 和 $G$ 如三线定理所设, 再设 $|f(z)|\leqslant 1$ 对所有 $z\in \partial G$ 成立. 则 $|f(z)|\leqslant 1$ 对所有 $z\in G$ 成立.

引理的证明.
对于任意一个 $\varepsilon>0$, 令
$$g_{\varepsilon}(z) = \frac{1}{1+\varepsilon(z-a)}, \quad z\in \overline{G}.$$
则
$$|g_{\varepsilon}(z)|\leqslant \frac{1}{\text{Re}(1+\varepsilon(z-a))} = \frac{1}{1+\varepsilon(x-a)}\leqslant 1, \quad z= x+iy \in \overline{G}.$$
故对于 $z\in \partial G$, 由条件假设有 $|f(z)g_{\varepsilon}(z)|\leqslant 1$. 同时, 由于 $|f|$ 在 $G$ 中以 $B$ 为界, 则有
$$|f(z)g_{\varepsilon}(z)|\leqslant \frac{B}{|1+\varepsilon(z-a)|} = \frac{B}{|1+\varepsilon(x-a) + i\varepsilon y|} \leqslant \frac{B}{\varepsilon|\text{Im}z|}, \quad z= x+iy \in G.$$
故若设 $R = {x+iy: a\leqslant x \leqslant b, |y|\leqslant B/\varepsilon}$, 上式结合在边界 $\partial G$ 上 $|f(z)|\leqslant 1$ 的假设, 可以得到在边界 $\partial R$ 上 $|f(z)g_{\varepsilon}(z)|\leqslant 1$. 由最大模原理得到 $|f(z)g_{\varepsilon}(z)|\leqslant 1$ 对于任意的 $z\in R$ 均成立. 但若 $|\text{Im}z|>B/\varepsilon$, 则再由上式, 有 $|f(z)g_{\varepsilon}(z)|\leqslant 1$ 对于任意的 $z\in G$ 均成立. 令 $\varepsilon \rightarrow 0$, 就证明了引理.

定理的证明.
根据凸函数定义写出要证明的结论, 指数函数作用在两端, 可知其等价于以下不等式:
$$\begin{equation} M(x_3)^{x_2 - x_1} \leqslant M(x_1)^{x_2 - x_3}M^{x_3 - x_1}(x_2), \quad a\leqslant x_1 < x_3 < x_2 \leqslant b. \end{equation}$$
由于在 $G$ 的任意子条形区域上条件假设均成立, 只需证明以下不等式:
$$\begin{equation} M(u)^{b - a} \leqslant M(a)^{b - u}M(b)^{u - a}, \quad a\leqslant u \leqslant b. \end{equation}$$
设
$$g(z) = M(a)^{\frac{b - z}{b - a}}M(b)^{\frac{z - a}{b-a}},$$
对于 $M>0$, 以及复数 $z$, $M^z$ 由 $\exp{(z\log M)}$ 定义, 且 $\log M$ 是实数. 故 $g$ 是整函数, 没有零点, $1/g$ 在 $\overline{G}$ 内有界. 同时 $|g(a+iy)| = M(a), |g(b+iy)| = M(b)$.
于是 $f/g$ 满足引理的条件, 于是得到 $|f/g|\leqslant 1, \forall z\in G$, i.e. $|f(z)|\leqslant |g(z)| 1, \forall z\in G$, 因此有待证式成立.
最后说明一点, 只要有 $M(a) = 0,~ M(b) = 0$ 之一成立, (不妨设 $M(a) = 0$,) 则有 $|f(x+iy)|< \varepsilon^{\frac{b - z}{b - a}}M(b)^{\frac{z - a}{b-a}}~(\forall \varepsilon>0)$, 而这说明 $f(z)\equiv 0$. (这一点, 亦可以由 Schwarz reflection principle 或者 Painleve 连续延拓原理, 使得 $f$ 在 $x = a$ 的直线上解析, 再结合唯一性定理来说明.)

推论. $f$ 和 $G$ 如三线定理所设, 并且 $f$ 不是常数, 则 $|f(z)|< \sup_{w\in \partial G}|f(w)|.$

证明. 由三线定理得到 $\log M$ 凸, 故而有
$$\log M(x) \leqslant \max{\log M(a), \log M(b)}\leqslant \sup_{w\in \partial G}|f(w)|,$$
由最大模原理, 即有该推论结果.

Theorem.(三圆定理) 设 $0 < R_1 < R_2< \infty$, 函数 $f$ 在环域 $A(0; R_1, R_2)$ 上解析且不恒等于 $0$. 设
$$M(r,f) = \max{|f(z)|: |z| = r},\quad r\in (R_1, R_2).$$
则对于 $R_1 < r_1 < r < r_2 < R_2$ 且 $r_1\neq r_2$, 有
$$\log M(r,f) \leqslant \frac{\log r_2 - \log r}{\log r_2 - \log r_1}\log M(r_1,f) + \frac{\log r - \log r_1}{\log r_2 - \log r_1}\log M(r_2,f).$$
换句话说, $\log M(r,f)$ 是 $\log r$ 的凸函数.

证明. 考虑映射 $e^z$, 其建立了带状域 $G = {z: \log R_1 < \text{Re}~ z < \log R_2}$ 与环域 $A(0; R_1, R_2)$ 之间的(多叶)映射, 并且将 $\partial G$ 映射到 $\partial A(0; R_1, R_2)$.

任取 $R_1 < r_1 < r_2 < R_2$, 则 $F(z) = f(e^z)$ 是 $G$ 内不恒为零的解析函数. 令 $M(u, F) = M(e^u, f)$. 则由三线定理, $\log M(u, F)$ 是 $(\log r_1, \log r_2)$ 内的凸函数, i.e. $\log M(r,f)$ 是 $\log r$ 的凸函数.