关于连通性的简单讨论
说明. 本文为以前学习拓扑学时的部分笔记, 现发布于博客中供参考备忘. 若有读者发现错漏之处, 敬请电邮联系更正.
Recall: 连通性的基本概念
【定义】[连通性] XX 为一拓扑空间. 若 XX 的一对非空开子集 U,VU,V 满足 U∩V=∅,U∪V=XU∩V=∅,U∪V=X, 则称 U,VU,V 是分离的, 它们构成 XX 的一个分解. 若 XX 存在这样的分解, 则称 XX 是不连通的, 否则称为连通的.
关于连通性有以下等价描述:
空间 XX 是连通的, 当且仅当除了 XX 自身和 ∅∅ 外, 不存在其他既开又闭的子集.
Note. 由于连通性的定义仅涉及到一族开子集之间的关系, 显然, 这个概念是一个拓扑概念. 事实上, 连通性具有遗传性, 同时在连续映射, 有限积下依然保持.
在证明一些与连通性相关的命题时, 以下性质是常用到的:
定理 1.1. 若 XX 为不连通的, 设 A,BA,B 为 XX 的一个分解. 对于 XX 的任意连通子集 CC, 必然有 C⊂AC⊂A 或 C⊂BC⊂B 之一成立.
定理 1.2. 设 AA 为 XX 的一个连通子集. 若 B⊂XB⊂X 满足 A⊂B⊂¯AA⊂B⊂¯¯¯¯A, 则 BB 也是 XX 的一个连通子集.
定理 1.3. 设 AiAi 为 XX 的一族连通子集. 若 ⋂i∈IAi≠∅⋂i∈IAi≠∅, 则 ⋃i∈IAi⋃i∈IAi 是 XX 的连通子集.
定理 1.4. 设 AA 为 XX 的一个子集. 若 ∀x,y∈A∀x,y∈A, 存在连通子集 Axy⊂AAxy⊂A, 则 AA 是 XX 的连通子集.
连通分支, 局部连通和道路连通
对于任意一个空间, 都可以考虑将其分解为若干连通子集. 对于这一操作, 引入了连通分支的概念.
【定义】[连通分支] 如下定义 XX 上的一个等价关系 ∼∼:
x∼y⟺∃E⊂X, E是连通的, s.t. x,y∈E.x∼y⟺∃E⊂X, E是连通的, s.t. x,y∈E.
该等价关系将 XX 分为若干等价类, 每个等价类称为 XX 的一个连通分支.
连通分支也可以由以下性质描述:
定理 2.1. 拓扑空间 XX 的连通分支都是 XX 连通子空间, 这些子空间满足两两分离的关系, 并且所有的连通分支的并构成 XX, XX 的任意非空的连通子空间必然只属于其中某一个连通分支. 另外, 每一个连通分支都是闭集.
》证明
(1) 设 BB 是 XX 的一个连通子集, AA 是 XX 的一个与 BB 相交的连通分支. ∀x∈A∩B∀x∈A∩B, 由于 ∀y∈B∀y∈B, x,yx,y 连通, 故而 y∈Ay∈A, 这说明 B⊂AB⊂A.
(2) 设 AA 是 XX 的一个连通分支, 任取 x0∈Ax0∈A, 由连通分支的定义, ∀x∈A∀x∈A, x0∼xx0∼x. 于是存在 XX 的一个连通子集 AxAx, 使得 x0,x∈Axx0,x∈Ax. 由 (1) 的结论, Ax⊂AAx⊂A. 于是由定理 1.3, A=⋃x∈AAxA=⋃x∈AAx 是 XX 的连通子空间.
(3) 由定理 1.2, 以及 (1) 中的结论, 立刻可以得到, ¯A=A¯¯¯¯A=A.
连通性不止一种.
【定义】[局部连通] 空间 XX 称为 在 xx 处局部连通的, 若 xx 的任意邻域都包含有 xx 的某一个连通的邻域. 若 XX 在其上每一点处都是局部连通的, 则称 XX 是局部连通的.
局部连通性还具有以下的等价刻画:
(1) XX 的任何一个开集的任何一个连通分支都是开集;
(2) XX 的每个基集都是连通的.
》证明
(1) CC 为 XX 中的开集 UU 的一个连通分支, 由局部连通的定义, 对于 x∈Cx∈C, 存在连通的邻域 V⊂UV⊂U. 而同时 V∩C≠∅V∩C≠∅, 故由定理 2.1, V⊂CV⊂C, 这便说明了 CC 为开集.
(2) 每个开集都可以分割成若干连通分支, 它们新的并基等于这个开集. 而由 (1)连通分支都是开集, 于是 XX 的所有开集的连通分支一起, 正好构成了 XX 的一族开集基.
Note. 局部连通性也是一个拓扑概念. 其在连续映射, 有限积下依然保持.
【定义】[道路连通] 给定 x,y∈Xx,y∈X. 称连续映射 f:[a,b]→X, f(a)=x,f(b)=yf:[a,b]→X, f(a)=x,f(b)=y 为 XX 上的一条从 xx 到 y 的道路. 称 X 为道路连通的, 当对于 X 中的每一对点, 都存在一条道路连接这两个点. 子集 Y⊂X 称为道路连通子集, 如果其子集是一个道路连通空间.
Note 1. 道路连通性也是一个拓扑概念. 其在连续映射, 有限积下依然保持.
Note 2. 拓扑空间中的点的道路连通关系也构成一个等价关系, 基与这个等价关系也可以将空间中的点分成若干的等价类, 每个等价类相应的称为一个道路连通分支.
三种连通性的关系
Note. 连通, 局部连通, 道路连通是三个独立的拓扑概念. 连通空间可以不是道路连通的, 局部连通也未必道路连通, 一个例子就是离散空间, 这是局部连通的, 但是, 若该连通空间包含多于一个点, 则该空间不连通.
考虑以下经典的例子:
拓扑学家的正弦曲
S 表示 R2 平面上的如下子集:
S = \left{(x,y)\mid x\in (0,1], y = \sin\frac{1}{x}\right}.
其闭包 ¯S=S∪(0,y)∣y∈[−1,+1]. 其图像如下:
显然, (0,1] 区间是连通的; y=sin1x 是定义在 (0,1] 上的一个连续映射, 故也连通; S 作为两个连通空间的积空间也自然是连通的. 进而由定理 1.2 ¯S 也是连通的. 但是, 在 S 中的每个点都是局部连通的, 在 (0,y)∣y∈[−1,+1] 上的每个点却不是连通的(任意一个邻域当中都包含着无穷多个分离的开集). 而整个 ¯S 是非道路连通的.
Note. 三个概念在特定的情形下依然存在一些关系.
定理. 道路连通空间必然是连通空间.
》证明
[证明思路] 道路连通空间中的任何一条道路, 都是连通空间 [a,b] 在连续映射下的像, 故而是空间中的连通子集, 由定理 1.4 就得到该定理结果.
定理. n 维欧氏空间上的任何一个连通开集都是道路连通的.
》证明
[证明思路] 由于道路连通性在有限积下保持, 显然 Rn 是一个道路连通空间; 而由于其上任意球形邻域与 Rn 自身同胚, 于是它们也是道路连通的. 接着证明, Rn 中的任意开集 U 的任意一个道路连通分支 C 都是开集, 为此只需要证明 ∀x∈C, C 包含 x 的一个球形邻域. 最后证明任意连通开集都只包含一个道路连通分支, 利用反证法即可. 这样就完成了证明.
定理. n 维欧氏空间上的任何一个道路连通分支都是它的一个连通分支.
》证明 [证明思路] Rn 是一个连通空间, 道路连通空间, 也是一个局部连通空间, 利用定理 2.1 以及定理 2.3, 可知任意开集的任何一个连通分支都是道路连通的. 在由定理 2.2, 定理 2.1, 任何集合的道路连通分支是连通的, 包含于该集合的某个连通分支中. 这样就证明了结论.
类似于局部连通的概念, 还可以引入以下概念:
【定义】[局部道路连通] 空间 X 称为 局部道路连通的, 若 ∀x∈X, 其任意邻域都包含有 x 的某一个道路连通的邻域.
Note. 和其他几种连通性一样, 局部道路连通这一性质对连续映射, 有限积下依然保持.
作为定理 2.2, 2.3, 2.4 的推广, 有以下结论:
定理. (1) 局部道路连通空间必然是局部连通空间.
(2) 局部道路连通空间中的一个开集是一个道路连通子集⟺ 该开集是空间的连通子集.
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