关于连通性的简单讨论

关于连通性的简单讨论

说明. 本文为以前学习拓扑学时的部分笔记, 现发布于博客中供参考备忘. 若有读者发现错漏之处, 敬请电邮联系更正.

Recall: 连通性的基本概念

【定义】[连通性] XX 为一拓扑空间. 若 XX 的一对非空开子集 U,VU,V 满足 UV=,UV=XUV=,UV=X, 则称 U,VU,V 是分离的, 它们构成 XX 的一个分解. 若 XX 存在这样的分解, 则称 XX不连通的, 否则称为连通的.

关于连通性有以下等价描述:

空间 XX 是连通的, 当且仅当除了 XX 自身和 外, 不存在其他既开又闭的子集.

Note. 由于连通性的定义仅涉及到一族开子集之间的关系, 显然, 这个概念是一个拓扑概念. 事实上, 连通性具有遗传性, 同时在连续映射, 有限积下依然保持.

在证明一些与连通性相关的命题时, 以下性质是常用到的:

定理 1.1.XX 为不连通的, 设 A,BA,BXX 的一个分解. 对于 XX 的任意连通子集 CC, 必然有 CACACBCB 之一成立.

定理 1.2.AAXX 的一个连通子集. 若 BXBX 满足 AB¯AAB¯¯¯¯A, 则 BB 也是 XX 的一个连通子集.

定理 1.3.AiAiXX 的一族连通子集. 若 iIAiiIAi, 则 iIAiiIAiXX 的连通子集.

定理 1.4.AAXX 的一个子集. 若 x,yAx,yA, 存在连通子集 AxyAAxyA, 则 AAXX 的连通子集.

连通分支, 局部连通和道路连通

对于任意一个空间, 都可以考虑将其分解为若干连通子集. 对于这一操作, 引入了连通分支的概念.

【定义】[连通分支] 如下定义 XX 上的一个等价关系 :
xyEX, E是连通的, s.t. x,yE.xyEX, E, s.t. x,yE.
该等价关系将 XX 分为若干等价类, 每个等价类称为 XX 的一个连通分支.

连通分支也可以由以下性质描述:

定理 2.1. 拓扑空间 XX 的连通分支都是 XX 连通子空间, 这些子空间满足两两分离的关系, 并且所有的连通分支的并构成 XX, XX 的任意非空的连通子空间必然只属于其中某一个连通分支. 另外, 每一个连通分支都是闭集.

》证明

(1) 设 BBXX 的一个连通子集, AAXX 的一个与 BB 相交的连通分支. xABxAB, 由于 yByB, x,yx,y 连通, 故而 yAyA, 这说明 BABA.

(2) 设 AAXX 的一个连通分支, 任取 x0Ax0A, 由连通分支的定义, xAxA, x0xx0x. 于是存在 XX 的一个连通子集 AxAx, 使得 x0,xAxx0,xAx. 由 (1) 的结论, AxAAxA. 于是由定理 1.3, A=xAAxA=xAAxXX 的连通子空间.

(3) 由定理 1.2, 以及 (1) 中的结论, 立刻可以得到, ¯A=A¯¯¯¯A=A.

连通性不止一种.

【定义】[局部连通] 空间 XX 称为 xx 处局部连通的, 若 xx 的任意邻域都包含有 xx 的某一个连通的邻域. 若 XX 在其上每一点处都是局部连通的, 则称 XX局部连通的.

局部连通性还具有以下的等价刻画:

(1) XX 的任何一个开集的任何一个连通分支都是开集;

(2) XX 的每个基集都是连通的.

》证明

(1) CCXX 中的开集 UU 的一个连通分支, 由局部连通的定义, 对于 xCxC, 存在连通的邻域 VUVU. 而同时 VCVC, 故由定理 2.1, VCVC, 这便说明了 CC 为开集.

(2) 每个开集都可以分割成若干连通分支, 它们新的并基等于这个开集. 而由 (1)连通分支都是开集, 于是 XX 的所有开集的连通分支一起, 正好构成了 XX 的一族开集基.

Note. 局部连通性也是一个拓扑概念. 其在连续映射, 有限积下依然保持.

【定义】[道路连通] 给定 x,yXx,yX. 称连续映射 f:[a,b]X, f(a)=x,f(b)=yf:[a,b]X, f(a)=x,f(b)=yXX 上的一条从 xxy道路. 称 X道路连通的, 当对于 X 中的每一对点, 都存在一条道路连接这两个点. 子集 YX 称为道路连通子集, 如果其子集是一个道路连通空间.

Note 1. 道路连通性也是一个拓扑概念. 其在连续映射, 有限积下依然保持.

Note 2. 拓扑空间中的点的道路连通关系也构成一个等价关系, 基与这个等价关系也可以将空间中的点分成若干的等价类, 每个等价类相应的称为一个道路连通分支.

三种连通性的关系

Note. 连通, 局部连通, 道路连通是三个独立的拓扑概念. 连通空间可以不是道路连通的, 局部连通也未必道路连通, 一个例子就是离散空间, 这是局部连通的, 但是, 若该连通空间包含多于一个点, 则该空间不连通.

考虑以下经典的例子:

拓扑学家的正弦曲

S 表示 R2 平面上的如下子集:

S = \left{(x,y)\mid x\in (0,1], y = \sin\frac{1}{x}\right}.

其闭包 ¯S=S(0,y)y[1,+1]. 其图像如下:

图1

图1

显然, (0,1] 区间是连通的; y=sin1x 是定义在 (0,1] 上的一个连续映射, 故也连通; S 作为两个连通空间的积空间也自然是连通的. 进而由定理 1.2 ¯S 也是连通的. 但是, 在 S 中的每个点都是局部连通的, 在 (0,y)y[1,+1] 上的每个点却不是连通的(任意一个邻域当中都包含着无穷多个分离的开集). 而整个 ¯S 是非道路连通的.

Note. 三个概念在特定的情形下依然存在一些关系.

定理. 道路连通空间必然是连通空间.

》证明

[证明思路] 道路连通空间中的任何一条道路, 都是连通空间 [a,b] 在连续映射下的像, 故而是空间中的连通子集, 由定理 1.4 就得到该定理结果.

定理. n 维欧氏空间上的任何一个连通开集都是道路连通的.

》证明

[证明思路] 由于道路连通性在有限积下保持, 显然 Rn 是一个道路连通空间; 而由于其上任意球形邻域与 Rn 自身同胚, 于是它们也是道路连通的. 接着证明, Rn 中的任意开集 U 的任意一个道路连通分支 C 都是开集, 为此只需要证明 xC, C 包含 x 的一个球形邻域. 最后证明任意连通开集都只包含一个道路连通分支, 利用反证法即可. 这样就完成了证明.

定理. n 维欧氏空间上的任何一个道路连通分支都是它的一个连通分支.

》证明 [证明思路] Rn 是一个连通空间, 道路连通空间, 也是一个局部连通空间, 利用定理 2.1 以及定理 2.3, 可知任意开集的任何一个连通分支都是道路连通的. 在由定理 2.2, 定理 2.1, 任何集合的道路连通分支是连通的, 包含于该集合的某个连通分支中. 这样就证明了结论.

类似于局部连通的概念, 还可以引入以下概念:

【定义】[局部道路连通] 空间 X 称为 局部道路连通的, 若 xX, 其任意邻域都包含有 x 的某一个道路连通的邻域.

Note. 和其他几种连通性一样, 局部道路连通这一性质对连续映射, 有限积下依然保持.

作为定理 2.2, 2.3, 2.4 的推广, 有以下结论:

定理. (1) 局部道路连通空间必然是局部连通空间.

(2) 局部道路连通空间中的一个开集是一个道路连通子集 该开集是空间的连通子集.

作者

Zengfk

发布于

2022-04-15

更新于

2022-09-15

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