关于连通性的简单讨论

说明. 本文为以前学习拓扑学时的部分笔记, 现发布于博客中供参考备忘. 若有读者发现错漏之处, 敬请电邮联系更正.

Recall: 连通性的基本概念

【定义】[连通性] $X$ 为一拓扑空间. 若 $X$ 的一对非空开子集 $U,V$ 满足 $U\cap V = \varnothing, U\cup V =X$, 则称 $U,V$ 是分离的, 它们构成 $X$ 的一个分解. 若 $X$ 存在这样的分解, 则称 $X$ 是不连通的, 否则称为连通的.

关于连通性有以下等价描述:

空间 $X$ 是连通的, 当且仅当除了 $X$ 自身和 $\varnothing$ 外, 不存在其他既开又闭的子集.

Note. 由于连通性的定义仅涉及到一族开子集之间的关系, 显然, 这个概念是一个拓扑概念. 事实上, 连通性具有遗传性, 同时在连续映射, 有限积下依然保持.

在证明一些与连通性相关的命题时, 以下性质是常用到的:

定理 1.1. 若 $X$ 为不连通的, 设 $A, B$ 为 $X$ 的一个分解. 对于 $X$ 的任意连通子集 $C$, 必然有 $C\subset A$ 或 $C\subset B$ 之一成立.

定理 1.2. 设 $A$ 为 $X$ 的一个连通子集. 若 $B\subset X$ 满足 $A\subset B\subset\overline{A}$, 则 $B$ 也是 $X$ 的一个连通子集.

定理 1.3. 设 ${A_i}$ 为 $X$ 的一族连通子集. 若 $\bigcap_{i\in I} A_i\neq \varnothing$, 则 $\bigcup_{i\in I}A_i$ 是 $X$ 的连通子集.

定理 1.4. 设 $A$ 为 $X$ 的一个子集. 若 $\forall x,y\in A$, 存在连通子集 $A_{xy}\subset A$, 则 $A$ 是 $X$ 的连通子集.

连通分支, 局部连通和道路连通

对于任意一个空间, 都可以考虑将其分解为若干连通子集. 对于这一操作, 引入了连通分支的概念.

【定义】[连通分支] 如下定义 $X$ 上的一个等价关系 $\sim$:
$$x\sim y \Longleftrightarrow \exists E \subset X,~ E \text{是连通的, s.t. } x,y\in E.$$
该等价关系将 $X$ 分为若干等价类, 每个等价类称为 $X$ 的一个连通分支.

连通分支也可以由以下性质描述:

定理 2.1. 拓扑空间 $X$ 的连通分支都是 $X$ 连通子空间, 这些子空间满足两两分离的关系, 并且所有的连通分支的并构成 $X$, $X$ 的任意非空的连通子空间必然只属于其中某一个连通分支. 另外, 每一个连通分支都是闭集.

》证明

(1) 设 $B$ 是 $X$ 的一个连通子集, $A$ 是 $X$ 的一个与 $B$ 相交的连通分支. $\forall x\in A\cap B$, 由于 $\forall y\in B$, $x,y$ 连通, 故而 $y\in A$, 这说明 $B\subset A$.

(2) 设 $A$ 是 $X$ 的一个连通分支, 任取 $x_0\in A$, 由连通分支的定义, $\forall x\in A$, $x_0\sim x$. 于是存在 $X$ 的一个连通子集 $A_x$, 使得 $x_0, x\in A_x$. 由 (1) 的结论, $A_x\subset A$. 于是由定理 1.3, $A = \bigcup_{x\in A}A_x$ 是 $X$ 的连通子空间.

(3) 由定理 1.2, 以及 (1) 中的结论, 立刻可以得到, $\overline{A} = A$.

连通性不止一种.

【定义】[局部连通] 空间 $X$ 称为 在 $x$ 处局部连通的, 若 $x$ 的任意邻域都包含有 $x$ 的某一个连通的邻域. 若 $X$ 在其上每一点处都是局部连通的, 则称 $X$ 是局部连通的.

局部连通性还具有以下的等价刻画:

(1) $X$ 的任何一个开集的任何一个连通分支都是开集;

(2) $X$ 的每个基集都是连通的.

》证明

(1) $C$ 为 $X$ 中的开集 $U$ 的一个连通分支, 由局部连通的定义, 对于 $x\in C$, 存在连通的邻域 $V\subset U$. 而同时 $V\cap C\neq\varnothing$, 故由定理 2.1, $V\subset C$, 这便说明了 $C$ 为开集.

(2) 每个开集都可以分割成若干连通分支, 它们新的并基等于这个开集. 而由 (1)连通分支都是开集, 于是 $X$ 的所有开集的连通分支一起, 正好构成了 $X$ 的一族开集基.

Note. 局部连通性也是一个拓扑概念. 其在连续映射, 有限积下依然保持.

【定义】[道路连通] 给定 $x, y \in X$. 称连续映射 $f:[a,b]\rightarrow X, ~f(a) = x, f(b) = y$ 为 $X$ 上的一条从 $x$ 到 $y$ 的道路. 称 $X$ 为道路连通的, 当对于 $X$ 中的每一对点, 都存在一条道路连接这两个点. 子集 $Y\subset X$ 称为道路连通子集, 如果其子集是一个道路连通空间.

Note 1. 道路连通性也是一个拓扑概念. 其在连续映射, 有限积下依然保持.

Note 2. 拓扑空间中的点的道路连通关系也构成一个等价关系, 基与这个等价关系也可以将空间中的点分成若干的等价类, 每个等价类相应的称为一个道路连通分支.

三种连通性的关系

Note. 连通, 局部连通, 道路连通是三个独立的拓扑概念. 连通空间可以不是道路连通的, 局部连通也未必道路连通, 一个例子就是离散空间, 这是局部连通的, 但是, 若该连通空间包含多于一个点, 则该空间不连通.

考虑以下经典的例子:

拓扑学家的正弦曲

$S$ 表示 $\mathbb{R}^2$ 平面上的如下子集:

$$S = \left{(x,y)\mid x\in (0,1], y = \sin\frac{1}{x}\right}.$$

其闭包 $\overline{S} = S\cup {(0,y)\mid y\in [-1,+1]}$. 其图像如下:

显然, $(0, 1]$ 区间是连通的; $y = \sin\frac{1}{x}$ 是定义在 $(0,1]$ 上的一个连续映射, 故也连通; $S$ 作为两个连通空间的积空间也自然是连通的. 进而由定理 1.2 $\overline{S}$ 也是连通的. 但是, 在 $S$ 中的每个点都是局部连通的, 在 ${(0,y)\mid y\in [-1,+1]}$ 上的每个点却不是连通的(任意一个邻域当中都包含着无穷多个分离的开集). 而整个 $\overline{S}$ 是非道路连通的.

Note. 三个概念在特定的情形下依然存在一些关系.

定理. 道路连通空间必然是连通空间.

》证明

[证明思路] 道路连通空间中的任何一条道路, 都是连通空间 $[a,b]$ 在连续映射下的像, 故而是空间中的连通子集, 由定理 1.4 就得到该定理结果.

定理. $n$ 维欧氏空间上的任何一个连通开集都是道路连通的.

》证明

[证明思路] 由于道路连通性在有限积下保持, 显然 $\mathbb{R}^n$ 是一个道路连通空间; 而由于其上任意球形邻域与 $\mathbb{R}^n$ 自身同胚, 于是它们也是道路连通的. 接着证明, $\mathbb{R}^n$ 中的任意开集 $U$ 的任意一个道路连通分支 $C$ 都是开集, 为此只需要证明 $\forall x\in C$, $C$ 包含 $x$ 的一个球形邻域. 最后证明任意连通开集都只包含一个道路连通分支, 利用反证法即可. 这样就完成了证明.

定理. $n$ 维欧氏空间上的任何一个道路连通分支都是它的一个连通分支.

》证明 [证明思路] $\mathbb{R}^n$ 是一个连通空间, 道路连通空间, 也是一个局部连通空间, 利用定理 2.1 以及定理 2.3, 可知任意开集的任何一个连通分支都是道路连通的. 在由定理 2.2, 定理 2.1, 任何集合的道路连通分支是连通的, 包含于该集合的某个连通分支中. 这样就证明了结论.

类似于局部连通的概念, 还可以引入以下概念:

【定义】[局部道路连通] 空间 $X$ 称为 局部道路连通的, 若 $\forall x\in X$, 其任意邻域都包含有 $x$ 的某一个道路连通的邻域.

Note. 和其他几种连通性一样, 局部道路连通这一性质对连续映射, 有限积下依然保持.

作为定理 2.2, 2.3, 2.4 的推广, 有以下结论:

定理. (1) 局部道路连通空间必然是局部连通空间.

(2) 局部道路连通空间中的一个开集是一个道路连通子集$\Longleftrightarrow$ 该开集是空间的连通子集.