群的例子

这里记录一些重要的群的例子, 以备参考.

常见的群的例子

这里给出一些重要的群的例子.

• 给定数域 $F$ 上的线性空间 $V$, 其上的全部向量关于加法构成一个交换群; 全体同级矩阵关于加法构成一个交换群; 该线性空间上的全体线性变换构成的集合关于加法构成一个交换群, 关于乘法构成群（非交换）.
• $(\mathbb{Q}^*,\cdot)$ 是群, 其中 $\mathbb{Q}^*$ 是所有非零有理数的集合, “$\cdot$”代表通常的乘法. 类似的, $\mathbb{R}^*, \mathbb{C}^*$ 都关于乘法构成群, 而且他们都是交换群. 而 $\mathbb{Z}$ 关于加法构成交换群.
• 全体 $n$ 次单位根构成的集合 $\left\{\varepsilon_k = e^{\frac{2k\pi i}{n}} | k = 0,1,\cdots, n-1\right\}$ 关于复数乘法构成群. 该群是个有限群.
• 设 $GL_n(F)$ 为数域 $F$ 上行列式不为零的全体 $n\times n$ 的矩阵所构成的集合, 则其关于矩阵乘法构成一个群, 称为数域 $F$ 上的 $n$ 级一般线性群. 设 $SL_n(F)$ 为数域 $F$ 上行列式等于 1 的全体 $n\times n$ 的矩阵所构成的集合, 则其关于矩阵乘法也构成一个群, 称为数域 $F$ 上的 $n$ 级特殊线性群.
• 设 $O_n(\mathbb{R})$ 为实数域上全体 $n$ 级正交矩阵的构成的集合, 则其关于矩阵乘法也构成一个群, 称为数域 $\mathbb{R}$ 上的 $n$ 级正交群. 设 $O_n(\mathbb{R})$ 为实数域上全体行列式等于 1 的 $n$ 级正交矩阵的构成的集合, 则其关于矩阵乘法也构成一个群, 称为数域 $\mathbb{R}$ 上的 $n$ 级特殊正交群.
• 整数模 $n$ 的同余类组成的集合 $\mathbb{Z}_n$ 上定义加法： $\overline{x} + \overline{y} = \overline{x+y}$. 该集合关于这一加法构成群.
• 类似的, 在其上定义乘法 $\overline{x} \cdot \overline{y} = \overline{x\cdot y}$, 显然 $\mathbb{Z}_n$ 上关于乘法的结合律成立, $\overline{1}$ 是其乘法单位元, 以 $\mathbb{Z}_n^*$ 表示除 $\overline{0}$ 外其他元素构成的集合. 该集合关于上述乘法不一定构成群, 因为可能存在元素没有逆元（比如 $(\mathbb{Z}_6^*,\cdot)$ 便不构成群, 但 $(\mathbb{Z}_5^*,\cdot)$ 构成群）.

事实上, 我们有如下断言：$\overline{x}\in\mathbb{Z}$ （关于同余类的乘法）是可逆的元素当且仅当 $(x,n)=1$. 那么, 由 $\mathbb{Z}_n$ 中的可逆元素构成的集合, 关于乘法构成一个有限群, 其阶数为 $\varphi(n)$ (欧拉 $\varphi$-函数). 特别的, 当 $n$ 为素数时, $\mathbb{Z}_n^*$ 的每一个元素都可逆, 其关于同余类乘法构成群.

变换群与置换群

下面是群论中非常重要的两类群：变换群和置换群.

• 【变换群】设 $A$ 为一个非空集合, 一个映射 $\sigma:A\rightarrow A$ 称为 $A$ 的变换, 若该映射既是一个单射, 也是一个满射, 那么称之为一个双射或一一变换.
  令 $X$ 为全部 $A$ 的变换构成的集合, 映射的合成（称为乘法）定义了 $X$ 上的一个代数运算： $$\forall f,g\in X,\forall a\in A, (f\circ g)(a):=f(g(a)).$$
  显然 $f\circ g \in X$.
  设 $S_A$ 为 $A$ 上的全部双射构成的集合, 则 $(S_A,\circ)$ 构成群, 称其为 $A$ 的全变换群. 而由 $A$ 的若干个双射构成的群统称为 $A$ 的变换群.

• 【置换群】讨论 $A$ 为有限集合的情况. 设 $Card(A)=n$. 此时 $A$ 的一个一一变换称为 $A$ 的一个 $n$ 元置换, $S_A$ 称为 $n$ 次对称群, 记为 $S_n$, 其阶为 $n!$. $A$ 的部分置换关于置换乘法构成的群则称为 $n$次置换群.

为了方便表示置换, 我们有置换的轮换表示方法.
设 $i_1,i_2,\cdots, i_r\in\{1,2,\cdots n\}$, $\sigma\in S_n$ 满足 $$\sigma(i_1)=i_2, \sigma(i_2)=i_3,\cdots, \sigma(i_{r-1})=i_r, \sigma(i_r)=i_1$$ 同时保持其余元素不变, 称 $\sigma$ 为一个 $r$-循环(轮换), 记为 $\sigma=(i_1 i_2 \cdots i_r )$.

特别的, $r=1$ 时, 这个循环为恒等变换, 记为 $(1)$. $r=2$ 时, 称其为对换. 两个循环称为不相交的, 若 $\{i_1\cdots i_r\}\cap\{j_1\cdots i_s\}=\emptyset$. 显然, 不相交的循环的乘积满足交换律. 同时 $r$-循环还有以下显然的性质：a) $(i_1 i_2\cdots i_r)^{-1}= (i_r i_{r-1}\cdots i_1)$; b) 任意一个 $r$-循环都可以表示为对换的乘积.

关于置换, 有以下性质.

【Prop 1】 对称群 $S_n~(n\geq 2)$ 中的任一置换都可以被分解为一些两两不交的循环的积. 不考虑乘积顺序以及1-轮换的个数的情况下, 这一分解是唯一的.

例如： $S_3 = \{(1),(12), (13), (23), (123), (132)\}$.

【Prop 2】$S_n$ 中的任意置换都可以表示为对换的乘积. 当然, 其表示方法并不唯一.

我们定义, 能分解为偶数个对换的乘积的置换, 称为偶置换; 能分解为奇数个对换的乘积的置换, 称为奇置换. 显然, 两偶置换的积依然是偶置换, 偶置换与奇置换的积为奇置换, 置换的逆与原置换具有相同的积偶性.

【Prop 3】 对称群全体偶置换构成的集合关于置换的乘法构成群. 该群称为 $n$ 次交错群, 其阶数为 $\frac{n!}{2}$.

下面给出几个具体的对称群的例子.

图形的对称群, 二面体群

设 $T$ 是 $n$ 维欧式空间中的一个图形, 则将 $T$ 映射为自身的正交变换的全体构成的集合, 关于变换的乘法构成群, 称为图形 $T$ 的对称群, 记为 $\text{Sym}(T)$.

如果用$a$ 表示给定的旋转变换, $b$ 表示沿某一对称轴的反射变换, 例如：正三角形的对称群, 元素只有六个, 即

$$D_6 = \{e,a,a^2,b,ab,a^2b\},$$

称为三次二面体群; 平面上的正方形的对称群为8阶的四次二面体群, 即

$$D_8 = \{e,a,a^2,a^3,b,ab,a^2b,a^3b\} .$$

一般的, 平面上的正 $n$ 边形的对称群称为 $n$ 次二面体群, 记为 $D_{2n}$. 其由 $n$ 个旋转和 $n$ 个反射构成.