复分析小品-分式线性变换
在复分析中的几何理论中, 有一个有趣而且重要的主题, 即共形映射. 其中有一类很自然的解析函数类——分式线性变换.
考虑以下有理函数
其中, 均为复数. 要使得以上函数具有良好的定义, 很自然, 需要要求 不能同时为 ; 另一方面, 为了保证函数不会退化成常数函数, 则需要满足 .
综合来说, 当以上有理函数满足 时, 我们称之为一个分式线性变换. 我们都知道:
- 分式线性变换的复合还是一个分式线性变换变换.
- 任何分式线性变换都可以表示为三种简单变换的复合, 即:平移、旋转、反演的复合.
关于分式线性变换的很多性质, 留到谈共形映射时再谈. 以下提供一个有意思的视角, 也许能帮助我们更容易的认识分式线性变换.
视分式线性变换为矩阵
对于任意一个分式线性变换, 均可以视之为一个复数矩阵
显然 正是在这个矩阵对应的行列式. 显然分式线性变换的分子与分母同时乘或除一个非零的常数, 得到的是同一个变换, 因此, 不影响一般性的, 可设 . 也就是说, 任意分式线性变换都对应着一个行列式为 的矩阵.
这样, 可以看到恒等映射对应于单位矩阵, 而分式线性变换的复合则对应于相应矩阵的乘法.
用矩阵的乘法, 容易验证前面所说的第一条事实, 即分式线性变换的复合还是一个分式线性变换变换.
另外由于 , 故而, 矩阵 是可逆的. 分式线性变换 逆映射对应于 的逆矩阵.
矩阵视角: 三种简单变换的复合
Recall 一下三种简单变换:
- 平移变换 .
- 旋转变换 .
- 反演变换 .
这三种简单变换都是分式线性变换,对应的矩阵分别为
对于任意一个分式线性变换 , 容易看出: 当 时, 只能是 , , 或 ; 当 时, .
这也就说明了前面所说: 任何分式线性变换都可以表示为三种简单变换的复合, 即:平移、旋转、反演的复合.
【下篇预告】:复分析小品-生成函数
复分析小品-分式线性变换
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