复分析小品-分式线性变换

在复分析中的几何理论中, 有一个有趣而且重要的主题, 即共形映射. 其中有一类很自然的解析函数类——分式线性变换.

考虑以下有理函数

$$f(z) = \frac{az+b}{cz+d}$$

其中，$a,b,c,d$ 均为复数. 要使得以上函数具有良好的定义, 很自然, 需要要求 $c,d$ 不能同时为 $0$; 另一方面, 为了保证函数不会退化成常数函数, 则需要满足 $a/c \neq b/d$.

综合来说, 当以上有理函数满足 $ad-bc\neq 0$ 时, 我们称之为一个分式线性变换. 我们都知道:

• 分式线性变换的复合还是一个分式线性变换变换.
• 任何分式线性变换都可以表示为三种简单变换的复合, 即:平移、旋转、反演的复合.

关于分式线性变换的很多性质, 留到谈共形映射时再谈. 以下提供一个有意思的视角, 也许能帮助我们更容易的认识分式线性变换.

视分式线性变换为矩阵

对于任意一个分式线性变换, 均可以视之为一个复数矩阵

$$L = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{pmatrix}$$

显然 $ad - bc$ 正是在这个矩阵对应的行列式. 显然分式线性变换的分子与分母同时乘或除一个非零的常数, 得到的是同一个变换, 因此, 不影响一般性的, 可设 $ad - bc = 1$. 也就是说, 任意分式线性变换都对应着一个行列式为 $1$ 的矩阵.

这样, 可以看到恒等映射对应于单位矩阵$\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$, 而分式线性变换的复合则对应于相应矩阵的乘法.

用矩阵的乘法, 容易验证前面所说的第一条事实, 即分式线性变换的复合还是一个分式线性变换变换.

另外由于 $ad - bc \neq 0$, 故而, 矩阵 $L$ 是可逆的. 分式线性变换 $f$ 逆映射对应于 $L$ 的逆矩阵.

矩阵视角: 三种简单变换的复合

Recall 一下三种简单变换:

• 平移变换 $T_{\alpha}:z\rightarrow z + \alpha~ (\alpha\in \mathbb{C})$.
• 旋转变换 $M_{\beta}:z\rightarrow \beta z~ (0\neq\beta\in \mathbb{C})$.
• 反演变换 $R(z): z\rightarrow \frac{1}{z}$.

这三种简单变换都是分式线性变换,对应的矩阵分别为

$$T_{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & \alpha\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix}$$
$$M_{\beta} = \begin{pmatrix} \alpha & 0\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix}$$
$$R = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix}.$$

对于任意一个分式线性变换 $f(z) = \frac{az+b}{cz+d}$, 容易看出: 当 $c = 0$ 时, $f$ 只能是 $T$, $M$, 或 $TM$; 当 $c\neq 0$ 时, $f = T_{\frac{a}{c}}M_{\frac{bc-ad}{c}}RT_{d}M_{c}$.

这也就说明了前面所说: 任何分式线性变换都可以表示为三种简单变换的复合, 即:平移、旋转、反演的复合.

【下篇预告】：复分析小品-生成函数