黎曼猜想的百年征途(上)

引子: 背景

对数学爱好者来说, 这段时间最轰动的新闻是 89 岁的数学家阿蒂亚爵士 (Sir Michael Francis Atiyah) 宣称证明了已有 159 年历史的黎曼猜想 (黎曼Hypothesis). 9 月 24 日在有数十位菲尔兹奖和图灵奖得主参加的海德堡获奖者论坛 (Heidelberg Laureate Forum) 上, 阿蒂亚爵士报告了自己的证明. 阿蒂亚爵士是一位功绩卓著的数学家, 在过去半个多世纪里拿下了大量崇高奖项, 其中包括有数学诺贝尔奖之名的菲尔兹奖和数学终生成就奖的阿贝尔奖。

1900年代, 曾有人问著名的数学家希尔伯特:”如果在你死后 500 年, 你有一次转世重生的机会, 你最希望看到什么?” 希尔伯特回答说:”我希望看到黎曼猜想被证明”. 而英国著名数学家哈代也曾开玩笑说:”如果真的有上帝, 他要我立刻死去, 但能满足我一个交换条件, 我希望是看一眼黎曼猜想的证明.”

• 这篇文章的主角, 就是这个让包括希尔伯特, 哈代, 到阿蒂亚爵士在内, 159年来的众多数学家为之沉醉, 不懈努力的: 黎曼猜想.

历史背景1: 黎曼是谁?

介绍黎曼猜想之前, 我们先来说说黎曼.

黎曼于 1826 年出生在如今属于德国, 当时属于汉诺威王国 (Kingdom of Hanover) 的一座名叫布列斯伦茨 (Breselenz) 的小镇。他的父亲弗雷德里希·波恩哈德·黎曼是当地的路德会牧师。他在六个孩子中排行第二。他是个安静多病而且害羞的人，终生喜欢独处。

1846 年，黎曼进入哥廷根大学学习哲学和神学。在此期间他去听了一些数学讲座，包括高斯关于最小二乘法的讲座, 这使得黎曼与数学结下了不解之缘, 随后他便改学数学, 在大学期间有两年去柏林大学就读，在学术思想上受到了数学家雅可比和狄利克雷的影响. 随后于1847年春，黎曼更是直接转到柏林大学，投入他们的门下.

1851 年, 25岁的黎曼在柏林大学获得了博士学位, 开始了他的丰富多产的数学研究生涯. 直到 1866 年,年仅 40 岁的黎曼因为肺结核在意大利塞拉斯卡去世.

黎曼的一生短暂, 但在他仅仅 15 年的数学生涯里却给数学界留下了丰富的遗产. 他在分析学, 解析数论, 微分几何学等方面做出了开创性的贡献. 其中我们所熟知的微积分中的积分, 最早就是由他给出了严格的定义. 他开创了黎曼几何理论, 而这一理论在半个世纪以后, 为爱因斯坦发展出广义相对论奠定了数学基础.

• 时间回到, 1859 年, 由于黎曼在数学上的卓越贡献, 他被选为了柏林科学院的通信院士. 作为对这一崇高荣誉的回报, 他向柏林科学院提交了一篇题为 “论小于给定数值的素数个数” 的论文. 这篇只有短短八页的论文就是今天的主角, 黎曼猜想的 “诞生地”.

一段烧脑的数学: “黎曼猜想”讲的是什么?

“论小于给定数值的素数个数”这篇只有短短八页的论文, 被称为”解析数论领域最具影响力的论文之一”. 现在我们就来正式的认识一下这篇论文中诞生的”黎曼猜想”.

[一句话说明黎曼猜想]

黎曼 ζ 函数的全部非平凡零点都分布在实部为 1/2 的直线上. (ζ 念做 “泽塔”.)

[解释]

这很短的一句话里, 可是有着大学问. 习惯听我们节目的朋友们应该已经习惯了, 越是简单的说明, 背后隐藏的往往是很复杂的东西. 准备好, 深呼吸, 开启头脑风暴, 听我来解释一下这句话.

首先, 我们应该看出来了, 黎曼猜想讲的是关于一个被称为”黎曼 ζ 函数”的猜想. 这个函数看起来并不复杂, 甚至可以说看起来很简洁, 对于这个函数的具体形式在节目中就不谈了, 感兴趣的同学们可以自己网上搜索一番.

这里要指出的是, 黎曼 ζ 函数是一个复变量函数.

Q&A 时间

• Q: 什么是复变量函数呢?

A: 函数的概念大家应该很熟悉了, 比如初中就学过的正比例函数 y=x, 二次函数 y = x^2(念做”x的平方”). 这里 x 就是代表函数变量的符号. 了解复数的人应该知道有一个虚数单位 i, 也就是根号 -1. 而复数, complex number, 英语翻译过来, 叫做”复杂的数”, 就是形如 a + bi 的数. 其中 a, b 都是实数, i 就是虚数单位. 我们可以看到, a + bi 由两个部分构成, a 是实数部分, 我们叫它”实部”; 而 bi 是虚数部分, 我们就把这个 b 称为”虚部”. 而复变量函数, 顾名思义, 就是以复数为变量的函数.

猜想讲的就是黎曼 ζ 函数这个复变量函数的零点分布情况.

• Q: 什么是零点?

A: 就是让函数值等于 0 的点. 比如: 函数 y = x - 1, 要让函数值 y = 0的点, 也就是 x = 1 这一点就是函数 y = x - 1 的零点. 不是所有的函数都有零点, 而函数有零点, 也不一定只有一个, 可以有很多个.

和很多其它函数一样, 黎曼 ζ 函数在某些点上取值为零, 那些点被就称为”黎曼 ζ 函数的零点”, 其中特别重要的一部分零点被称为”非平凡零点”. 黎曼猜想所 “猜” 的是： 黎曼 ζ 函数的所有非平凡零点都分布在复平面上一条被称为 “临界线” 的特殊直线上. 更具体的说其实这条直线就是 x = 1/2.

• Q: 复平面是什么?

A: 大家可以想象平面直角坐标系, 每一个复数 a + bi 都对应着平面直角坐标系里的一个点 (a,b), a 就是 x 轴坐标, 用复数的说法我们叫它”实数轴”, b 就是 y 轴坐标, 对应于虚数, 我们称它为”虚数轴”. 那么这个平面我们就叫它”复平面”.

黎曼 ζ 函数是一个复变量函数, 所以它的零点是 a + bi 这样的复数, 由实部和虚部构成. “所有非平凡零点都分布在复平面上 x = 1/2 这条临界线上”, 说的就是所有非平凡零点的”实部”都等于 1/2. 也就是所有的非平凡零点都长成 1/2 + bi 的样子.

黎曼猜想, 看起来好像很难, 但是又不难. 最重要的是: 就这个猜想为什么这么重要呢? 究竟这个猜想有什么意义呢?

又一段历史: 黎曼猜想的意义

想要了解黎曼猜想的意义, 我们就要回到过去 159 年的历史当中去.
(尝试证明黎曼猜想的历史, 也是一段不断揭示黎曼猜想意义的历史. 黎曼猜想远比你想象的要重要.)

1. 黎曼猜想的诞生/对数学的重要性

刚才我们讲到了, 黎曼是在一篇题为 “论小于给定数值的素数个数” 的短短 8 页的论文中提出黎曼猜想的, 这个起源显示了黎曼猜想的一个特点, 那就是跟素数分布有着密切关系. 对黎曼猜想的研究使数学家们看到了貌似随机的素数分布背后奇异的规律和秩序, 这种规律和秩序就体现在黎曼ζ 函数非平凡零点的分布之中, 它让数学家们目驰神移.

更重要的则是, 黎曼猜想跟诸多数学命题有着千丝万缕的联系——据统计, 当今数学文献中有 1000 条以上的数学命题是以黎曼猜想或其推广形式的成立为前提的. 也就是说, 黎曼猜想及其推广形式一旦被证明, 数学中将史无前例地于 “一夜间” 新增 1000 多条定理, 这将对数学的面貌产生非同小可的影响, 所有直接间接用到那些命题的领域也将程度不等地受到影响. 一个数学猜想与为数如此众多的数学命题的命运息息相关, 在数学中是绝无仅有的.

话说回来, 在黎曼的论文发表之后的最初二、 三十年时间里, 他所开辟的这一领域显得十分冷清, 没有出现任何重大进展. 直到 1896 年 素数定理的证明, 尤其是以一种与黎曼的论文如此密切相关的方式所实现的证明——让数学界把更多的注意力放到了黎曼猜想上来. 所谓的素数定理讲的就是和素数分布相关的一个重要定理, 是从数学家高斯以来, 数学界的一个重大心愿.

四年后 (即 1900 年) 的一个夏日, 两百多位当时最杰出的数学家会聚到了巴黎, 一位 38 岁的德国数学家走上了讲台, 作了一次永载数学史册的伟大演讲. 演讲的题目叫做 “数学问题”, 演讲者正是大名鼎鼎的数学家, 希尔伯特是一位与高斯及黎曼齐名的数学巨匠. 希尔伯特在演讲稿中列出了二十三个对后世产生深远影响的数学问题, 黎曼猜想被列为其中第八个问题的一部分, 从此成为整个数学界瞩目的难题之一.

希尔伯特的这篇演讲拉开了未来一个多世纪数学发展的大幕, 而关于黎曼猜想, 也开始了一段跨越百年的故事.

(未完待续)