线性代数-矩阵基础 2

继续线性代数矩阵部分的笔记。

矩阵的初等变换与分块运算

**定义**【初等变换】 以下三种对矩阵的操作, 每一种都称为对矩阵的进行的一次 **初等变换**. - 将矩阵的一行(列)与另一行(列)交换位置; - 将矩阵的某一行乘以一个非零倍数; - 将矩阵的一行(列)加到另一行(列)上去.

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 关于初等矩阵有以下性质:

**定理** 初等矩阵均可逆.

**定理** 对一个$s\times n$的矩阵$A$做一次初等行变换, 相当于$A$左乘一个$s\times s$初等矩阵; 做一次初等列变换, 相当于$A$右乘一个$n\times n$初等矩阵.

下面引入矩阵的分块.

**定义** 对矩阵$A=(a_{ij})_{m\times n}$, 设想从$A$的某些行和列之间入一些直线, 将$A$分割成许多子矩阵,比如这样 $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & ~ & 3 & ~ & 4 & 5 \\ 6 & 7 & | & 8 & | & 9 & 10 \\ a & b & | & c & | & d & e \\ -- & -- & | & -- & | & -- & -- \\ f & g & | & h & | & i & j \\ 0 & 1 & ~ & 2 & ~ & 3 & 4 \end{pmatrix}$$ 这些分割出的子矩阵皆由相邻的行列元素组成, 称为$A$的**(block)**.这样对$A$的分割称为**对$A$分块**.用符号分别表示些块, 比如上面的例子就可以表示为: $$A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13}\\ A_{21} & A_{22} & A_{23}\\ \end{pmatrix}$$ 其中$A_{ij}$就是第$i$行第$j$列的块.那么$A$就表示为了由块成的矩阵, 称为**分块矩阵**.

现在可以类似的定义分块矩阵的初等变换以及广义初等矩阵了.

**定义** 以下五种类型的矩阵, 统称为广义初等矩阵. $$\begin{pmatrix} 0 & I_n \\ I_m & 0 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & I_n\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} I_m & 0 \\ 0 & I_n \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} I_m & 0 \\ 0 & B \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} I_m & 0 \\ D & I_n \\ \end{pmatrix}$$ 其中, $A,B$ 分别为 $m$ 阶与 $n$ 阶的可逆矩阵, $C,D$ 分别$m\times n$ 和 $n\times m$ 矩阵.

广义初等矩阵具有与初等矩阵类似的性质:

1. 对于分块矩阵,左乘一个广义初等矩阵,相当于做一次初等行变换;右乘一个广义初等矩阵,相当于做一次初等列变换,而这样的行列变换就称为分块矩阵的初等变换;
   
2. 广义初等矩阵均可逆.

分块矩阵的乘法与初等变换结合是矩阵运算中的重要方法.下面举几个例子:

【例】

利用分块矩阵证明: $|AB|=|A||B|$, 其中$A,B$均为$n$阶方阵.

【证明】

构造分块矩阵

$$\begin{equation} \begin{pmatrix} A & 0 \\ -I & B \end{pmatrix} \end{equation}$$

这个分块矩阵做初等变换

$$\begin{pmatrix} A & 0 \\ -I & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I & B \\ 0 & I \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} A & AB \\ -I & 0 \end{pmatrix}$$

而初等变换不改变行列式的值,利用行列式的 Laplace 定理展开就有

$|A||B|=|AB|(-1)^{1+2+\cdots+2n}|-I|=|AB|.$

注: 再详细点说, 在分块矩阵处理中, 每个分块可以当成个”矩元素”来处理.上面左乘初等矩阵,其实和下面是一个意:

$$\begin{pmatrix} A & 0 \\ -I & B \end{pmatrix} \xrightarrow[\text{加到第一行}]{\text{二行$A$}} \begin{pmatrix} A+(-A) & AB \\ -I & B \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & AB \\ -I & 0 \end{pmatrix}.$$

然后利用行列式的Laplace定理(特殊的一个形式也就是代数余式开)展开得到一样的结果.但为什么这里要用乘一个初等阵的方式呢, 注意看前面的定义1.4, 这个题中特殊的一点是 $AB$ 恰好都是 $n$ 阶. 要知道, 同阶的情况下才可以做矩阵的加法,否则就不可以这样做了.

【例】
设$A,B,C,D$均为$n$阶方阵,且$AC=CA$. 求证
$$\left|\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}\right|=|AD-CB|.$$

【证明】
分情况讨论.

1) 若$A$为可逆矩阵,由$AC=CA$可得$CA{-1}=A{-1}C$. 那么
$$\begin{pmatrix} I & 0 \\ -CA^{-1} & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D-CA^{-1}B \end{pmatrix}.$$
两边取行列式,可得原行列式等于$|A||D-CA^{-1}B|$,由上一题的果,就有$|AD-ACA^{-1}B|=|AD-CB|$.

注: 这里也同上一题一样, 因为$A,B,C,D$是同阶的, 也以这写
$$\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\xrightarrow[\text{加到第2行}]{\text{1行左$-CA^{-1}$}}\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D-CA^{-1}B \end{pmatrix}.$$

2) 若$A$不可逆,我们利用这样一个结果:定义在域$F$上的阵$A$不可逆, 但在域 $F$ 中存在无穷多个 $\lambda$, 使 $\lambda I+A$ 可逆. 又由$AC=CA$ 可得 $C(\lambda I+A)^{-1}=(\lambda I+A)^{-1}C$. 利用1)的结果,得到

$$\left|\begin{matrix} \lambda I+A & B\\ C & D \end{matrix}\right|= |(\lambda I+A)D-CB|.$$

将$\lambda$替换为变量$x$,等式两边均为不超过$n$次的多式函数而它们在无穷多个点$\lambda$处相等,这说明两个多式函数在域$F$上相等(两者是同一个函数).那么我们取$x=0$得到了想要的结果.

NOTE: 对于上面的例题中提到的几个结果,这里做出说明.设 $A$ 为定义在域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵,显然 $|xI+A|$ 是域 $F$ 上的 $n$ 次多项式(一个矩阵的对应的行列式展开其实就是一个多项式). 由代数学基本定理,域 $F$ 任意一个 $n$ 次多项式最多有 $n$ 个不同的根.对应于矩阵, 也就是说,最多有 $n$ 个值使得 $xI+A$不可逆. 这种将不可逆矩阵转化为可逆矩阵的思想, 在矩阵论和解题中常常用到.在后面也会反复提到.