线性代数-矩阵基础 1

从1858年 Cayley 建立起矩阵及其运算以来, 矩阵理论迅速的建立了起来. 矩阵论是数学中内容最丰富, 应用最广泛的部分之一. 矩阵是线性代数中最重要的工具, 贯穿于线性代数的始终. 矩阵论在航空航天, 军事, 信息处理, 人工智能, 金融, 生命科学, 社会科学等很多的领域都有非常重要的作用.

这一部分的笔记将对矩阵理论中的核心内容以及方法进行总结和复习. 假设本笔记的读者, 对于笔记中出现的各种概念并不陌生, 而矩阵定义以及一些运算(加法、乘法、转置)作为基本知识将不在此重述, 笔记将按照一个个独立的知识点组织. 对于一个点的相关知识和方法, 将来自于整个线性代数课程, 以使读者能够综合应用, 融会贯通.

标准单位向量

**【定义】** $n$ 维向量 $$e_i = \begin{pmatrix} 0\\ \vdots\\0\\1\\0\\\vdots\\0 \end{pmatrix}~i$$ 称为第$i$个**标准单位（列）向量**, 其中$j=1,\cdots,n$.

容易验证
$$e^T_i e_j = \begin{cases} 1, \quad i=j \ 0, \quad i\neq j \end{cases}\quad i,j=1,\cdots,n.$$

由定义和矩阵的运算,容易得到以下性质:

【定理】 对于任意矩阵$A=(a_{ij})_{m\times n}$, 有 $$\begin{align} Ae_j = \alpha_j \quad\text{（矩阵的第j列）}\\ e_i^TA=\beta_i\quad\text{（矩阵的第i行）}\\ e_i^TAe_j=a_{ij}\quad\text{（矩阵元素）} \end{align}$$

**[NOTE:]**利用标准单位向量,选择合适的矩阵分块方式, 可以使得矩阵的运算得到简化.

【例】设$n$阶方阵如下, 求$A^n$.
$$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & ~ & ~ \\ ~ & 0 & \ddots & ~ \\ ~ & ~ & \ddots & ~ \\ ~ & ~ & ~ & 0 \end{pmatrix},$$

【解】
注意到矩阵的形式,我们利用矩阵的列向量表示法$A= (0,e_1,e_2,\cdots,e_{n-1})$.
故而
$$\begin{array}{lll} A^2&=&A(0,e_1,e_2,\cdots,e_{n-1})\\ &=&(0,Ae_1,Ae_2,\cdots,Ae_{n-1})\\ &=&(0,0,e_1,\cdots,e_{n-2}) \end{array}$$
以此类推,我们可以得知,$A^k=(0,0,\cdots,e_1,\cdots,e_{n-k}),(k=1,2,\cdots.n)$. 当$k=n$, 就有$A^n=0$.