微积分之数列与级数

序列与极限

这里我们快速的过一遍关于数列与级数的这一些基础的内容.这些内容在复数域 $\mathbb{C}$ 上都是成立的.

度量空间 $X$ 中的序列 ${ x_n }$ 称收敛的, 当 $\exists x \in X$, $\forall \varepsilon >0$, $\exists N\in \mathbb{N}_+ $, $d(x_n, x)<\varepsilon$. 我们说序列 ${ x_n }$ 收敛于 $x$.记为
$$\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n} = x.$$
如果序列不收敛, 我们称其为发散的.

收敛序列具有以下一些性质:

• 序列 ${ x_n }$收敛于 $x\in X$, 则在 $x$ 的任意邻域中均包含序列中的无限项.
• 若序列收敛, 则极限唯一.
• 若序列收敛, 则序列有界.
• 若 $E\subset X$, $x$是 $E$ 的聚点, 则 $E$ 中存在收敛于 $x$ 的序列.

由定义容易验证, 序列的四则运算:

对序列 ${s_{n}}, {t_{n}}$, 有 $\lim_{n\rightarrow \infty}s_{n}=s$, $\lim_{n\rightarrow \infty}t_{n}=t$. 那么
- $\lim_{n\rightarrow \infty}(s_{n}+t_{n})=s+t$;
- 对于任意的数$c$, 有$\lim_{n\rightarrow \infty}cs_{n}=cs$, $\lim_{n\rightarrow \infty}(c+s_{n})=c+s$;
- $\lim_{n\rightarrow \infty}s_{n}t_{n}=st$;
- 若$\forall n, s_n \neq 0$, 且$s\neq 0$, 则$\lim_{n\rightarrow \infty}1/s_{n}=1/s$.

Note: 对于 $\mathbb{R}^{n}$(或$\mathbb{C}^{n}$)上的序列, 以上定义和结论均适用.

回顾一下柯西(Cauchy)序列的概念.

[Cauchy 序列]

度量空间中的序列 ${ x_{n} }$ 称为 Cauchy 序列, 当其满足$\forall \varepsilon >0$, $\exists N\in \mathbb{N}_+$, $\forall n>N, m>N$, 有$d(x_n, x_m)<\varepsilon$.

如果度量空间 $X$ 中的每个 Cauchy 序列在在度量空间 $X$ 中收敛, 就称它是完备的. 在此我们指出关于 $\mathbb{R}^k$ 的完备性的两个个等价的描述:

• $\mathbb{R}^k$中的每一个柯西列均有极限点.
• [Bolzano-Weierstrass] $\mathbb{R}^k$每个有界序列必含有收敛的子序列.

已经知道度量空间中的收敛序列是有界的, 但是有界不一定收敛. 然而, 存在收敛性等于有界性的一种, $\mathbb{R}^1$ 上的单调序列就是如此.

数项级数

关于序列极限的类似的结构和结果可以应用于(以 $\mathbb{R}^k$ 中的元素为项的)级数.

对于有如下形式的序列 ${S_{n}}$:
$$S_{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{n},$$
符号 $\sum_{i=1}^{\infty}a_{n}$ 称为无穷级数, 若$n\rightarrow \infty$ 时, $S_{n}$ 收敛于某一 $S\in \mathbb{R}^k$, 则说无穷级数收敛.写成
$$S=\lim_{n\rightarrow\infty}S_{n}=\sum_{i=1}^{\infty}a_{n}.$$

我们说以上级数绝对收敛, 当级数
$$\sum_{i=1}^{\infty}|a_{n}|$$
收敛.

Cauchy 收敛准则重新叙述如下:

[级数的 Cauchy 收敛准则]

级数 $\sum a_{n}$ 收敛, 当且仅当
$$\forall \varepsilon>0 , \exists N\in \mathbb{N}+ , \forall n \geqslant m \geqslant N : \left| \sum{i=n}^{m}a_i \right|\leqslant\varepsilon.$$

由此可以直接得到结论: 若级数级数 $\sum a_{n}$ 收敛, 则$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n =0$.(这是级数收敛的必要但不充分条件.)

对应于单调序列收敛性与有界性等价, 关于级数有结论: 各项非负的级数收敛, 当且仅当部分和序列 ${s_n}$ 有界.

判断通项非负的级数收敛的判定, 我们有非常有用的**”比较检验法”**.定理叙述如下:

• 若 $\exists N_0 \in \mathbb{N}+$, $\forall n>N_0$, $|a_n|\leqslant c_n$, 而级数 $\sum c_n$ 收敛, 则级数 $\sum a{n}$ 收敛.
• 若 $\exists N_0 \in \mathbb{N}+$, $\forall n>N_0$, $a_n \geqslant d_n$, 而级数 $\sum d_n$ 发散, 则级数 $\sum a{n}$ 发散.

所以当使用不同的比较级数的时候, 就进一步衍生出了不同的判别法. 往往比较级数收敛的”越慢”, 判别法就越”精密”, 但是也相应越复杂.这里仅例举最常用的两种判别法:

• 几何级数:若 $0<|q|<1$, 那么$$\sum_{i=1}^{\infty}q^n =\frac{q}{1-q}.$$
  以几何级数为比较级数可以得到比率验敛法.

[比率验敛法]

对于级数 $\sum{a_{n}}$, 若
$$\limsup_{n \rightarrow \infty}{ \left| \frac{a_{n+1}}{ a_n } \right| } < 1,$$
则级数收敛; 若 $\exists n_0 \in \mathbb{N}+$, 当 $n\geqslant n_0$,
$$\left|\frac{a{n+1}}{a_{n}}\right|\geqslant 1,$$
则级数发散.

• p 级数:若 $p>1$, $$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$$
  收敛,否则发散.以 p 级数为比较级数可以得到根值验敛法.

[根值验敛法]

对于级数$\sum a_n$, 令
$$\alpha = \limsup_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{|a_n |}$$
则$\alpha<1$时, 级数收敛; $\alpha>1$时, 级数发散; $\alpha =1$时本判别法无法判定.

Abel 方法–关于一般项级数的收敛

阿贝尔(Abel)方法是一种很有用的古典分析技巧, 在级数的收敛性理论还有有关积分计算中常常用到.阿贝尔方法的基础就是以下称为分部求和公式(又叫和差变换公式)的恒等式, 相当于积分中的分部积分法. 由这个式子出发, 可以得到阿贝尔引理, 进而导出一般级数的阿贝尔判别法与狄利克雷判别法, 以及之后给出的级数乘法定理.

[分部求和公式]

设有两个序列 $a_n$,$b_n$, 当 $n\geqslant0$ 时, 令
$$A_{n}=\sum_{k=0}^{n}a_{k},$$
令$A_{-1}=0$, 那么, 当 $0\leqslant p\leqslant q$ 时, 有
$$\sum_{n=p}^{q}{a_n b_n}=\sum_{n=p}^{q-1}{A_{n}(b_n - b_{n+1})}+A_q b_p - A_{p-1} b_p.$$

[Abel 收敛判别法]

若序列${a_n}$单调有界, 级数$\sum b_n$收敛, 则$\sum_{n}^{\infty}a_n b_n$收敛.

[Dirichlet 收敛判别法]

若级数 $\sum a_{n}$ 的部分和 $A_n$ 构成有界序列, $b_n$单调递减趋于 $0$,则 $\sum_{n}^{\infty}a_n b_n$ 收敛.

最后给出莱布尼茨(Leibnitz)关于交错级数收敛的判别法.

[Leibnitz]

设$a_n$单调递减趋于$0$, 则交错级数$\sum_{n}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n$收敛.

级数的加法与乘法

[级数加法]
如果$\sum a_n =A$, $\sum b_n = B$, 那么$\sum(a_n +b_n) = A+B$, 而且对于任意常数$c$, $c\sum a_n =cA$.

关于级数的乘法相对复杂, 这里仅讨论”Cauchy 乘积”.

[Cauchy 乘积]

设有 $\sum a_n =A$, $\sum b_n = B$.令
$$c_n = \sum_{k=0}^{n}{a_k b_{n-k}}\quad(n=0,1,2,\cdots)$$
称级数$\sum c_n$为所给的两个级数的积.

级数的积和级数之间的以来关系是很复杂的, 级数 $\sum a_n$, $\sum b_n$ 收敛并不保证它们的乘积级数是收敛的. 关于级数乘积有定理

[Mertens]

若级数 $\sum a_{n}$ 绝对收敛, $\sum a_n =A$, $\sum b_n = B$, $c_n = \sum_{k=0}^{n}{a_k b_{n-k}}~(n=0,1,2,\cdots)$, 则
$$\sum_{n=0}^{\infty}c_n =AB.$$

反过来, 若级数 $\sum c_n$ 收敛, 那么该级数的和是否就是 $AB$ 呢? 问题的答案是肯定的.应用阿贝尔的方法可以得到如下定理:

[级数乘法定理]

若级数 $\sum c_{n}$, $\sum a_n$, $\sum b_n$, 分别收敛于 $A, B, C$, 并且 $c_n = \sum_{k=0}^{n}{a_k b_{n-k}}$, 那么$C=AB$.