微积分之数列与级数
序列与极限
这里我们快速的过一遍关于数列与级数的这一些基础的内容.这些内容在复数域 上都是成立的.
度量空间 中的序列 称收敛的, 当 , , , . 我们说序列 收敛于 .记为
如果序列不收敛, 我们称其为发散的.
收敛序列具有以下一些性质:
- 序列 收敛于 , 则在 的任意邻域中均包含序列中的无限项.
- 若序列收敛, 则极限唯一.
- 若序列收敛, 则序列有界.
- 若 , 是 的聚点, 则 中存在收敛于 的序列.
由定义容易验证, 序列的四则运算:
对序列 , 有 , . 那么
- ;
- 对于任意的数, 有, ;
- ;
- 若, 且, 则.
Note: 对于 (或)上的序列, 以上定义和结论均适用.
回顾一下柯西(Cauchy)序列的概念.
[Cauchy 序列]
度量空间中的序列 称为 Cauchy 序列, 当其满足, , , 有.
如果度量空间 中的每个 Cauchy 序列在在度量空间 中收敛, 就称它是完备的. 在此我们指出关于 的完备性的两个个等价的描述:
- 中的每一个柯西列均有极限点.
- [Bolzano-Weierstrass] 每个有界序列必含有收敛的子序列.
已经知道度量空间中的收敛序列是有界的, 但是有界不一定收敛. 然而, 存在收敛性等于有界性的一种, 上的单调序列就是如此.
数项级数
关于序列极限的类似的结构和结果可以应用于(以 中的元素为项的)级数.
对于有如下形式的序列 :
符号 称为无穷级数, 若 时, 收敛于某一 , 则说无穷级数收敛.写成
我们说以上级数绝对收敛, 当级数
收敛.
Cauchy 收敛准则重新叙述如下:
[级数的 Cauchy 收敛准则]
级数 收敛, 当且仅当
$$\forall \varepsilon>0 , \exists N\in \mathbb{N}+ , \forall n \geqslant m \geqslant N : \left| \sum{i=n}^{m}a_i \right|\leqslant\varepsilon.$$
由此可以直接得到结论: 若级数级数 收敛, 则.(这是级数收敛的必要但不充分条件.)
对应于单调序列收敛性与有界性等价, 关于级数有结论: 各项非负的级数收敛, 当且仅当部分和序列 有界.
判断通项非负的级数收敛的判定, 我们有非常有用的**”比较检验法”**.定理叙述如下:
- 若 $\exists N_0 \in \mathbb{N}+\forall n>N_0|a_n|\leqslant c_n\sum c_n\sum a{n}$ 收敛.
- 若 $\exists N_0 \in \mathbb{N}+\forall n>N_0a_n \geqslant d_n\sum d_n\sum a{n}$ 发散.
所以当使用不同的比较级数的时候, 就进一步衍生出了不同的判别法. 往往比较级数收敛的”越慢”, 判别法就越”精密”, 但是也相应越复杂.这里仅例举最常用的两种判别法:
- 几何级数:若 , 那么
以几何级数为比较级数可以得到比率验敛法.
[比率验敛法]
对于级数 , 若
则级数收敛; 若 $\exists n_0 \in \mathbb{N}+n\geqslant n_0$\left|\frac{a{n+1}}{a_{n}}\right|\geqslant 1,$$
则级数发散.
- p 级数:若 ,
收敛,否则发散.以 p 级数为比较级数可以得到根值验敛法.
[根值验敛法]
对于级数, 令
则时, 级数收敛; 时, 级数发散; 时本判别法无法判定.
Abel 方法–关于一般项级数的收敛
阿贝尔(Abel)方法是一种很有用的古典分析技巧, 在级数的收敛性理论还有有关积分计算中常常用到.阿贝尔方法的基础就是以下称为分部求和公式(又叫和差变换公式)的恒等式, 相当于积分中的分部积分法. 由这个式子出发, 可以得到阿贝尔引理, 进而导出一般级数的阿贝尔判别法与狄利克雷判别法, 以及之后给出的级数乘法定理.
[分部求和公式]
设有两个序列 ,, 当 时, 令
令, 那么, 当 时, 有
[Abel 收敛判别法]
若序列单调有界, 级数收敛, 则收敛.
[Dirichlet 收敛判别法]
若级数 的部分和 构成有界序列, 单调递减趋于 ,则 收敛.
最后给出莱布尼茨(Leibnitz)关于交错级数收敛的判别法.
[Leibnitz]
设单调递减趋于, 则交错级数收敛.
级数的加法与乘法
[级数加法]
如果, , 那么, 而且对于任意常数, .
关于级数的乘法相对复杂, 这里仅讨论”Cauchy 乘积”.
[Cauchy 乘积]
设有 , .令
称级数为所给的两个级数的积.
级数的积和级数之间的以来关系是很复杂的, 级数 , 收敛并不保证它们的乘积级数是收敛的. 关于级数乘积有定理
[Mertens]
若级数 绝对收敛, , , , 则
反过来, 若级数 收敛, 那么该级数的和是否就是 呢? 问题的答案是肯定的.应用阿贝尔的方法可以得到如下定理:
[级数乘法定理]
若级数 , , , 分别收敛于 , 并且 , 那么.
未找到相关的 Issues 进行评论
请联系 @zengfk 初始化创建