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Review - 上的拓扑(1)

这篇笔记主要内容是回顾 \mathbb{R}^n 上的拓扑. 事实上,这里是要对由度量诱导的 \mathbb{R}^n 的度量空间上的拓扑进行总结. 对于一般的拓扑空间(不依赖特定度量的性质)的拓扑性质, 更为详细的内容, 可以参考任意一本《点集拓扑学》或《一般拓扑学》之类的讲义. 事实上, 度量空间上的极限, 连续性, 和紧性都是空间拓扑性质的例子.

度量空间

首先给出度量空间的定义.

给定一个集合 X, 定义其上的度量为一个映射 d: X\times X \rightarrow \mathbb{R}, \forall x, y, z \in X, 满足: - d(x, y)=d(y, x). - d(x, y)\geq 0, 等号成立 iff x=y. - d(x, z)\leq d(x,y) +d(y,z). 集合 X 连同其上的度量 d 一起构成了一个**度量空间**. 可以看到, 对于度量空间 X 的子集 Y, 度量 dY\times Y 上的限制也是 Y 的度量. 即 Y 也构成一个度量空间.

[两种常用度量]

\mathbb{R}^n 上常用的度量有两个:
d(\mathbf{x,y})=\Vert \mathbf{x-y} \Vert;
d(\mathbf{x,y})=\vert \mathbf{x-y} \vert.
这两者分别称为 Euclid 度量确界度量.

\mathbb{R}^{n} 上由 Euclid 度量诱导的拓扑, 形成的拓扑空间称为欧氏空间.

邻域, 开集, 闭集

X 是带度量 d 的度量空间. 给定 x_{0}\in X 以及任意的 \varepsilon >0, 称集合
U(x_{0}, \varepsilon)=\{ x\mid d(x,x_{0})<{\varepsilon} \}
x_{0}\varepsilon 邻域.

若对于 X 的子集 U, \forall x_{0}\in U, \exists \varepsilon>0, 使得 U(x_{0},\varepsilon)\subset U, 那么, 称 UX 上的开集, 其余集 X-U 则称为闭集. 若 U 是包含 x_{0} 的任意开集, 则直接称 Ux_{0} 的邻域.

\mathbb{R}^{n} 中, 按照 Euclid 度量, 对于 \mathbf{a}\in \mathbb{R}^{n}\varepsilon 邻域, 称为以 \mathbf{a} 为中心, \varepsilon 为半径的开球, 记为 B(\mathbf{a},\varepsilon); 按照确界度量, 则称为以 \mathbf{a} 为中心 \varepsilon 为半径的开立方体, 记为 C(\mathbf{a},\varepsilon).

关于度量空间上的开集和闭集, 有几个常见的性质:

**定理 1** (X,d) 为一个度量空间, 则 X 中的开集的**有限交**与**任意并**, 都是 X 中的开集. Likewise, X 中的开闭集的**任意交**与**有限并**, 都是 X 中的闭集.

注: 开集的任意交不一定是开集, 闭集的任意并也不一定是闭集, 例如:
\bigcap_{n=1}^{\infty}{\left( -\frac{1}{n}, \frac{n+1}{n} \right)}=[0,1];
\quad \bigcup_{n=1}^{\infty}{\left[ \frac{1}{n}, 1-\frac{1}{n} \right]}=(0,1).

我们在一个度量空间 X 上定义了开集, 同样的可以在其子空间 Y 上同样的定义开集. 这两者之间有如下这样的简单的关系.

定理 2 X 是一个度量空间, 而 YX 的一个子空间.则 Y 的一个子集 A 是开集, 当 A=U\cap Y, 其中 UX 中的开集; A 是闭集, 当 A=C\cap Y, 其中 CX 中的闭集.

值得注意的一点, 集合的包含关系上看, A\subset Y\subset X, 但是 A 作为 Y 上的开集, 可以不是 X 上的开集; 同样 A 可以是 Y 上的闭集, 但不是 X 上的闭集.

【两个例子】 1) 在定义了欧氏度量的 \mathbb{R}^{2} 空间上, 任取一点 O 为原点, 建立直角坐标系. 其子空间 \mathbb{R} 上的开区间 (a,b). 显然(a,b)\mathbb{R} 上的开集, 但不是 \mathbb{R}^{2} 上的开集.

2) 同样在定义了欧氏度量的 \mathbb{R}^{2} 空间上, 在去掉原点后的部分, 即 \mathbb{R}^{2}\O\mathbb{R}^{2} 的一个子空间, 以 x 轴为分界线, 取包括x轴在内的下半平面, 记为 S, 显然 S\mathbb{R}^{2}\O 上的闭集, 但不是 \mathbb{R}^{2} 上的闭集.

聚点(极限点)与闭包

X 为一个度量空间, 对于 x_{0}\in X, A\subset X, 若 \forall \varepsilon>0, U(x_{0},\varepsilon)\cap A\neq \varnothing, 则称 x_0A极限点(聚点).

定理 3AX 的子集, 那么包含 A 以及其所有极限点的集合 \overline{A}X 上的闭集.

\overline{A} 称为 A闭包, 而所有极限点构成的集合 A’ 称为 A导集.

由此我们得到判断闭集的一个充分必要条件:

X 的一个子集是闭的当且仅当 A=\overline{A}.

内部和边界

内部和边界的概念, 对于任意的拓扑空间都是有意义的, 可以直接应用到 \mathbb{R}^{n} 上. 并且这一概念与闭包有着密切的联系.

我们称拓扑空间的子集 A 的点 xA内点, 如果 Ax 的邻域. 集合 A 的所有内点组成的集合称为 A内部, 记作 A^{0}\text{Int} A.

定理 4A 为拓扑空间 X 的子集, 则 A 的内部 A^{0} 是开集, 且是 A 的最大开子集; A 为开集 iff A=A^{0}; A 中所有不是 X\sim A 的聚点的点所构成的集合恰是 A^{0}; X\sim A 的闭包是 X\sim A^{0}.

拓扑空间的子集 A边界, 指所有既不属于 A 也不属于 X\sim A 的点构成的集合. 记为 \text{Bd}A.

显然, 对于在 x\in \text{Bd}A, 对于所有包含 x 的开集, 同时与 A 和 其余集 X\sim A 相交.

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Review - \mathbb{R}^n 上的拓扑(1)

https://zengfk.com.cn/2017/07/05/R-n-上的拓扑回顾(1)/

作者

Zengfk

发布于

2017-07-05

更新于

2019-08-04

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