Review-微积分之【函数定义】
Mathematics links the abstract world of mental concepts to the real world of physical things without being located in completely in either.
**Ian Stewart** — Preface to second edition of *What is Mathematics?* by **Richard Courant** and **Herbert Robbins**, revised by **Ian Stewart** (1996).
说到微积分, 就要说到微积分所研究的主要对象——函数. 整个大千世界, 到处都是函数关系, 所以我们研究函数的目的不是为了纯理论的思辨, 而恰恰是我们对于理解世界的渴望, 对于各种经济利益的追求, 驱动着我们.
古希腊人为了研究天体运行, 发展出了比较系统的三角学(trigonometry); 大航海时代, 为了简化航海计算, 出现了**对数(logarithm)**学; 还有牛顿探讨力学发展出的牛顿三定律, 傅里叶为解决热力学问题发展的傅里叶级数…到现代生活, 如何平衡社会经济与人口环境的发展, 等等问题, 无不牵涉到”函数”.
各种形式的数学关系里面究竟什么关系是函数关系? 这是我们先要明确的问题.
函数定义
我们常见的一个函数定义来源于**狄利克雷(J. Dirichlet)**. 在此之前, 17 世纪牛顿(Newton), 莱布尼茨(Leibniz)等数学家, 往往只研究具体的某一类函数, 如三角函数, 幂函数, 对数函数等一系列特殊的与某些物理相关的函数. 大约在 18 世纪, 才开始有了一般的"函数"的概念. 如欧拉(Euler)就在自己的著作《无穷小引论分析》(1748) 里提出:
>函数即变量和常量组合而成的表达式.
又说
函数 $f(x)$ 是 $xOy$ 平面上”随手画出的曲线”.
函数概念的进一步发展来自于傅里叶(Fourier)对于傅里叶级数的研究. 在这一过程中, 提出的一个核心的问题就是
对于任意一个函数, 是否都能展开成一个唯一的收敛的傅里叶级数? 而任意一个傅里叶级数, 是否都能收敛到一个”函数”?
于是我们会发现一些难以用解析表达式表示, 又无法”随手”画出的曲线. 这些事实促使狄利克雷有必要给出一个合理的函数的定义. 我们现在用集合的语言来描述这一定义:
对于两个集合 $A$ 和 $B$, 元素可以是任何数学对象. 若对于 $A$ 的每一个元素 $x$, 按照某种方式 $f$, 与集合 $B$ 的一个元素(记为 $f(x)$ )联系着, 就说 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的一个**函数**(或说将 $A$ 映入到 $B$ 的一个**映射**). 集合 $A$ 叫做 $f$ 的**定义域**, 元素 $f(x)$ 叫做 $f$ 的值, $f$ 得所有值构成的集合,称为 $f$ 的**值域**.
还有另一种定义……<待续>
Review-微积分之【函数定义】
