Review-微积分之【函数定义】
Mathematics links the abstract world of mental concepts to the real world of physical things without being located in completely in either.
**Ian Stewart** — Preface to second edition of *What is Mathematics?* by **Richard Courant** and **Herbert Robbins**, revised by **Ian Stewart** (1996).
说到微积分, 就要说到微积分所研究的主要对象——函数. 整个大千世界, 到处都是函数关系, 所以我们研究函数的目的不是为了纯理论的思辨, 而恰恰是我们对于理解世界的渴望, 对于各种经济利益的追求, 驱动着我们.
古希腊人为了研究天体运行, 发展出了比较系统的三角学(trigonometry); 大航海时代, 为了简化航海计算, 出现了**对数(logarithm)**学; 还有牛顿探讨力学发展出的牛顿三定律, 傅里叶为解决热力学问题发展的傅里叶级数…到现代生活, 如何平衡社会经济与人口环境的发展, 等等问题, 无不牵涉到”函数”.
各种形式的数学关系里面究竟什么关系是函数关系? 这是我们先要明确的问题.
函数定义

又说
函数 是 平面上”随手画出的曲线”.
函数概念的进一步发展来自于傅里叶(Fourier)对于傅里叶级数的研究. 在这一过程中, 提出的一个核心的问题就是
对于任意一个函数, 是否都能展开成一个唯一的收敛的傅里叶级数? 而任意一个傅里叶级数, 是否都能收敛到一个”函数”?
于是我们会发现一些难以用解析表达式表示, 又无法”随手”画出的曲线. 这些事实促使狄利克雷有必要给出一个合理的函数的定义. 我们现在用集合的语言来描述这一定义:
对于两个集合 和 , 元素可以是任何数学对象. 若对于 的每一个元素 , 按照某种方式 , 与集合 的一个元素(记为 )联系着, 就说 是从 到 的一个**函数**(或说将 映入到 的一个**映射**). 集合 叫做 的**定义域**, 元素 叫做 的值, 得所有值构成的集合,称为 的**值域**.
还有另一种定义……<待续>
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