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逼近理论缘起

函数的最佳逼近问题起源于俄国数学家 P.L.切比雪夫. 1853 年, 当时切比雪夫正在研究关于将蒸汽引擎的线性运动转化为轮毂的圆周运动的联动装置的问题, 其中,他考虑了如下问题:

给出定义在闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数 $f$, 以及正整数 $n$, 是否能用最高不超过 $n$ 次的多项式函数 $\sum_{k=0}^{n}a_k x^k$ 来近似表示函数 $f$, 在区间上的任意一点处的误差在可控制的范围内?

特别的, 我们是否能构造出多项式 $P(x)$ 使得误差 $\max_{a\leq x\leq b}|f(x)-P(X)|$ 最小?