这是中科院高能物理研究所的张双南院士在中央电视台《开讲啦》的演讲. 很有意思. 主题是<刨根问底的科学>.(网页插入视频来源: Youtube. 部分地区观看可能需要翻墙.)

一张趣图-数学的深渊

如何才能学好数学?

Hilbert: 五次，Hermann, 最少五次. 这是希尔伯特说的, 对象是 Weyl, 他认为一个数学家在教授一门课的时候要多次重复. 学好一门数学课程多次重复是必要的.

好吧, 遇到一张趣图, 如果想学数学, 恭喜你来到深渊. 其行也远, 其路也艰, 虽千万里, 吾往矣.

看到一道不难但是很有意思的综合性习题. 好吧, 事实上这是 2017 年中山大学研究生入学考试[高等代数]科目的最后一道题. 这道题将数学分析和高等代数的知识结合在一起, 值得一看. 也作为自己对相关知识点的一个小小的复习. 下面就是原题题目.

继续上一篇笔记, 接下来关注两个重要的拓扑性质——极限和连续.

连续

从拓扑结构出发刻画 连续

关于一般拓扑空间的连续性, 有多个等价定义和命题[1], 这里暂且只提最基本的一个.

从拓扑空间 $(X,\mathscr{T})$ 到拓扑空间 $(Y,\mathscr{U})$ 内的映射 $f$ 称为连续的, 当且仅当对于 $\mathscr{U}$ 中的每一个开集, 其在 $\mathscr{T}$ 中的原像为开集; 每一个闭集, 其在 $\mathscr{T}$ 中的原像为闭集.

这篇笔记主要内容是回顾 $\mathbb{R}^n$ 上的拓扑. 事实上,这里是要对由度量诱导的 $\mathbb{R}^n$ 的度量空间上的拓扑进行总结. 对于一般的拓扑空间(不依赖特定度量的性质)的拓扑性质, 更为详细的内容, 可以参考任意一本《点集拓扑学》或《一般拓扑学》之类的讲义. 事实上, 度量空间上的极限, 连续性, 和紧性都是空间拓扑性质的例子.