数学分析习题解-序列极限(1)

【习题来源】数学分析：第七版.（俄罗斯）卓里奇著；李植译. 北京：高等教育出版社，2019.2

习题

1. 请证明：数 $x\in \mathbb{R}$ 是有理数的充要条件是，它在任何 q-进制计数法中是循环的，即从某一位数开始，它由一组周期性重复的数码组成。

【证明】 充分性: 若 $x$ 在任意 q-进制下是循环的, 设循环节长度为 $k$, 显然 $n = q^k x - x$ 为有限小数, 即 $n$ 为有理数, 那么由有理数对四则运算的封闭性, 可知 $x$ 也是有理数.

必要性: 若 $x$ 为有理数, 则可以表示为既约分数 $m/n$ 的形式. 由带余除法可知, $\forall k \in \mathbb{N}$, $q^k m$ 除 $n$ 的余数均不超过 $n-1$. 必然存在某个 $k_1$ 与 $k_2$, 使得余数相同, 也就是说 $q^{k_1}m - q^{k_2}m$ 将整除 $n$, 即存在整数 $d$, 使得$$x = \frac{m}{n} = \frac{d}{q^{k_1} - q^{k_2}} = \frac{1}{q^{k_2}}\frac{d}{q^{k_1-k_2} - 1}.$$
下面证明, 形如 $y = \frac{d}{q^{i} (q^{j} - 1)}$ 的数循环.

设在 p-进制下 $y$ 写作 $\beta_n\cdots\beta_1\beta_0.\beta_{-1}\beta_{-2}\cdots$. 那么有
\begin{array}{c}
& \beta_n\cdots\beta_1\beta_0.\beta_{-1}\beta_{-2}\cdots = \frac{\alpha_n\cdots\alpha_1\alpha_0}{q^i(q^{j} - 1)} \\
\Rightarrow & \beta_n\cdots\beta_{-1}\cdots\beta_{-(i+j)}.\beta_{-(i+j+1)}\cdots \\
& -\beta_n\cdots\beta_{-1}\cdots\beta_{-i}.\beta_{-(i+1)}\cdots \\
& = \alpha_n\cdots\alpha_1\alpha_0
\end{array}
$d$ 为整数, 这说明上式左边也是整数, 即要求 $0.\beta_{-(i+j+1)}\cdots - 0.\beta_{-(i+1)}\cdots$ 为整数, 注意, 在 q-进制下 $\beta$ 的取值只能是小于等于 $q-1$ 的数, 此式只可能是 $1,0,-1$, 事实上此式必然等于 $0$, 若等于 $1$, 由等比级数求和, 可知 $\beta_{-(i+j+k)}\cdots - \beta_{-(i+k)} = p - 1~(k = 1,2,…)$, 于是$\beta_{-(i+j+1)}\cdots = p-1$ 而 $ \beta_{-(i+k)} = 0$, 这是矛盾的, 等于 $-1$ 时同理. 这便说明了 $y$ 循环.

综上, 必要性证明完毕. Q.E.D.

2. 皮球从高度 $h$ 落下并反弹至高度 $qh$, 其中 $q$ 是常系数, $0< q <1$. 求其完全落地所需的时间以及它在这段时间内经历的路程.

【解】 由题意, 写出皮球运动路程的公式 $$s = h + 2qh + 2q^2h + 2q^3h + \cdots = h(-1+2\sum_{i=0}^{\infty}q^i)$$. 由于 $0< q <1$, 故而级数部分收敛, 计算得 $s = \frac{1+q}{1-q}h$.

再由自由落体公式, 写出运动时间表达式 $$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} + 2\sqrt{\frac{2qh}{g}} + \cdots = \sqrt{\frac{2h}{g}}(-1+\sum_{i=0}^{\infty}q^{\frac{i}{2}})$$. 级数收敛, 计算可得 $t = \frac{1+\sqrt{q}}{1-\sqrt{q}}\sqrt{\frac{2h}{g}}$.

3. 从圆周上的一个固定点出发, 让圆周转动 $n$ 个弧度. 其中 $n\in \mathbb{Z}$ 取一切可能的值, 从而得到圆周上一系列的点. 请给出这个点集的全部极限点.

【解】 整个圆上的每一点都是极限点. 关于这一道题的进一步的深化, 参考知乎问答. 这里只对这道题给出一个可能的证明.

设固定点为 $0$, 用 $S$ 表示这个点集. 整个圆上每一点都是这个点集的极限点, 即证明 $2\pi\left(\frac{n}{2\pi}-[ \frac{n}{2\pi}]\right)$ 在整个 $[0 ,2\pi]$ 上稠密, 也就是证明 $\frac{n}{2\pi}-[ \frac{n}{2\pi}]$ 在 $[ 0,1]$ 上稠密. 用$\langle a \rangle$ 表示 $a-[ a]$, 即 $a$ 的小数部分. 为此我们先证明以下引理:

• 引理 $\forall \alpha \in \mathbb{R/Q}$, 点集 $\{\langle n\alpha \rangle: n\in \mathbb{Z}\}$ 在 $[ 0,1]$ 上稠密.

要证明以上命题, 即证明: $\forall (s, t) \subset [ 0,1]$, $\exists k\in \mathbb{Z}$, 使得 $\langle k\alpha \rangle \in (s,t)$. 令 $d = t-s$, 并取定$0 < \varepsilon < d < 1$. 将区间 $[ 0,1]$ 按每份长度小于 $\varepsilon$ 分割成有限份. 注意到 $\alpha$ 为无理数, 我们断言点集 $\{\langle n\alpha \rangle: n\in \mathbb{Z}\}$ 中不存在相同的点, 否则, 假设有 $n_1,n_2$ 使得 $\langle n_1\alpha \rangle=\langle n_2\alpha \rangle\Rightarrow \alpha = \frac{[ n_1\alpha]-[ n_2\alpha]}{n_1-n_2}$, 这与 $\alpha$ 为无理数矛盾. 于是点集为无穷点集. 由鸽巢原理, 一定存在 $n_1,n_2 \in \mathbb{Z}$ 使得 $\left|\langle n_1\alpha \rangle - \langle n_2\alpha \rangle\right|<\varepsilon < d$. 整理一下, 就是
\begin{equation}\label{eq:1}\left|m\alpha -n \right|<\varepsilon < d~~(m,n\in \mathbb{Z})\end{equation} 其中 $m = n_1 - n_2, n = [ n_1\alpha] -[ n_2\alpha]$.

设 $\beta = m\alpha -n $, 由式(\ref{eq:1}) 可得:

• $|\beta|<\varepsilon< d$;
• $ma = n + \beta$ 以及 $kma = kn + k\beta,~([ 1/\varepsilon] >k \in \mathbb{Z})$;

显然 $\langle kma \rangle = k\beta$ (因为 $kn\in\mathbb{Z}$, 而 $k \leqslant [ 1/\varepsilon], \beta<\varepsilon$, 于是 $k\beta < 1$). 数列 $ \beta, 2\beta, \cdots, k\beta,\cdots, [ 1/\beta]\beta$ 在 $[ 0,1]$ 上均匀分布. 我们断言, 数列中至少有一项落在 $(s,t)$ 中, 因为数列中各项的间距 $\beta < \epsilon < d = t-s$. 这就证明了我们的引理.

根据引理, 显然$\frac{n}{2\pi}-[ \frac{n}{2\pi}]$ 在 $[ 0,1]$ 上是稠密的. 于是命题得到了证明, 点集 $S$ 的全部极限点就是全集, 即整个圆周. Q.E.D.