黎曼猜想百年征途(中)

2. 尝试证明黎曼猜想的努力–发现新世界(续上篇)

上回写道, 希尔伯特的这篇演讲拉开了未来一个多世纪数学发展的大幕, 而关于黎曼猜想, 也开始了一段跨越百年的故事. 续篇就从算零点开始讲起.

1) 计算机验根

[手算零点]

回到黎曼的那篇论文, 黎曼的文风真的是言简意赅. 一句废话, 多一个字都不愿多说, 不但论文中的许多命题黎曼都没有给出证明, 而且我们一直提到非平凡零点, 但在论文中却没有任何相关的计算 也没给出任何具体的零点值. 黎曼猜想的零点究竟在哪呢?

直到 1903 年, 丹麦数学家格拉姆通过好几年的计算, 才第一次得到并公布了前 15 个非平凡零点的计算值, 数学界在也是几十年来第一次真正看到这些蕴含着素数分布秘密的零点, 而不出意料, 它们都乖乖的分布在黎曼所画的”临界线”上. 之后, 到 1914 年数学家巴克伦才将计算推进到第 79 个零点, 在经过一批杰出数学家, 诸如哈代, 李尔伍德等人的努力, 在1925 年才计算出了前138 个零点. 而这时候零点的计算因为受到方法的限制, 已经复杂到几乎无法进行下去的程度了.

[黎曼的手稿]
说到这里, 大家肯定有一个想法, 黎曼光给结论却不写证明, 这不是挖坑么? 会不会是恶作剧, 黎曼也许自己什么都没有算出来, 只是凭直觉写下的论文. 不止各位听众朋友有这个感觉, 在零点计算愈发艰难的情况下, 包括哈代在内的很多数学家, 对黎曼开始出现了越来越多的怀疑声音. 这时候距离黎曼的那篇论文发表, 已经 66 年了. 而要知道这个问题的答案, 最好的方法就是去看黎曼存世的手稿.

不过, 这里有一个好消息和一个坏消息.

先说坏消息吧. 坏消息就是黎曼去世之后, 黎曼的管家, 将黎曼的手稿付之一炬. 好可恶的管家! 不过好消息就是, 黎曼的妻子多多少少从火中抢救出了一小部分手稿, 这部分手稿被交到了黎曼生前好友数学家戴德金手上. 不过出于个人原因, 他的妻子又将一部分手稿要了回去, 随后在二战中遗失掉了. 那一部分没有被烧掉, 也没有被索回的手稿, 就成了现在数学家能看到的黎曼的全部遗著了. 而解开秘密的钥匙, 就在其中被保留了下来.(事实上, 数学史学家目前认为 黎曼有可能计算过多达 20 个零点)

[新的公式]

• 那么这把钥匙是什么呢?

数学家高斯总爱说一句话:”工匠总是会在建筑完成后把脚手架拆除的.” 黎曼猜想就像是那座巧夺天工的建筑, 我们前面说道, 越来越多的人开始怀疑黎曼的论文可能只是臆造的空中楼阁, 但却没有人想到去看一眼黎曼的手稿, 而那些手稿就是黎曼”建设”起那篇论文的脚手架. 当然, 有一部分的原因在于黎曼的手稿上基本都是密密麻麻的计算, 而非论述, 这使得黎曼的手稿就像一本难以读懂的天书.

• 但总是有数学家愿意去解读这本天书的.

这位数学家的名字叫西格尔(Sigel), 他恰是黎曼的同胞, 对, 他也是一位德国人, 一位德国数学家. 我们介绍介绍他. 话说他原本计划学习天文学, 但是因为开课时间推迟, 他有一段闲暇的时间, 未来打发那些无聊的时间, 于是他旁听了德国数学家弗罗贝尼乌斯的数学课程. 听着数学课啊, 西格尔就上瘾了, 他的人生从此走向了数学的道路, 最终成为了一名数学家. 因为反战, 他曾被拘押, 之后被数学家朗道(Landau)的父亲托关系才重获自由, 而朗道正是 1919 年西格尔来到哥廷根以后的老师. 他于 1922 年获得弗兰克福大学的教职, 受到哥廷根学术圈对于黎曼猜想热情的研究氛围的影响, 西格尔也开始了对黎曼猜想的研究. 虽然有些不错的想法, 但是没有任何实质进展, 正当他为此而苦恼的时候, 一封来自数学史学家海根的信件寄到了他这儿. 海根这时候正在做的就是研究黎曼的手稿的工作.

• 这封信为开启一个新的时代埋下了伏笔.

由于海根的数学背景还无法解读黎曼手稿中的数学, 所以他希望找到数学界在这方面很厉害的数学家来帮忙. 希尔伯特和朗道当然是首选, 但是名气太大, 人家会不会不理你啊? 海根转念一想, 那我就找朗道的学生吧. 于是这封信就寄到了西格尔手里. 而漫无头绪的西格尔也想放松一下, 而学术界对于黎曼的猜疑也让他好奇心大作, 于是他接受了海根的提议, 决定研究一下黎曼的手稿, “放松一下”.

• [考古发掘: 黎曼-西格尔公式”出土”]

此时时间已经来到 1932 年, 距离黎曼猜想的提出已经 73 年了. 话说西格尔的”考古”进展如何呢? 大概可以用”出乎意料之外,又在情理之中.”这句话来描述吧. 我们说了, 黎曼的论文中, 没有提到任何一个零点的具体数值, 大家也怀疑黎曼究竟有没有做过具体的计算, 毕竟手算根真的太复杂了. 可西格尔就在手稿中发现了黎曼计算的前三个非平凡零点的数值, 这说明黎曼是扎扎实实做过计算的! 这个计算比格之前说的数学家格拉姆的计算早了44年!

• 黎曼不就是计算了 3 个非平凡零点么? 人家格拉姆计算了 15 个呢! 计算的早不过是出生的早而已, 有什么了不起的? 难道是有更高级的计算方法?

西格尔随后对黎曼计算零点的方法进行了细致的整理和研究, 结果有了惊人的发现: 黎曼所用的方法不仅远远胜过了格拉姆所用的传统的欧拉-马克劳林公式的计算方法, 也远远胜过了数学家哈代和李尔伍德等人对这一方法的改进. 一句话, 黎曼用来计算零点的方法远远胜过了数学界当时已知的任何方法. 那就是我们现在称之为”黎曼-西格尔公式”的计算方法. 黎曼又一次跨越时间远远地走到了整个数学界的前面. 黎曼的这一公式是如此的复杂, 有些数学家甚至认为假如不是西格尔把它从黎曼的手稿中整理出来的话, 也许直到今天数学家们都无法独立地发现它. 这一发现也进一步提高了黎曼那原本就已极为崇高的声望, 在很大程度上驱散了一些数学家对黎曼论文中那些 “证明从略” 部分的怀疑. 因为它表明黎曼那篇高度简练的论文只是冰山的尖顶, 在那下面有着大量扎实的研究.

• **而也正是黎曼-西格尔公式的发现, 为黎曼 ζ 函数非平凡零点的计算带来了脱胎换骨般的变化, 让停滞在第 138 个零点上的计算重新启动. **

(未完待续)