这里, 我们利用实数理论以及极限理论来完整的定义指数函数, 对数函数以及幂函数的定义.
指数函数 ax
设 a>1.
- 对于 n∈N, 归纳的定义 a1=a,an+1=an⋅a1, 这样我们就在 N 上定义了函数 an, 同时可以看出, 函数具有性质am/an=am−n(m,n∈N,m>n).
- 由上面这个性质, 我们可以自然的定义 a0:=1,a−n=1/an. 于是, an 的定义自然的拓展到了整数集 Z 上. ∀n,m∈Z,an⋅am=an+m.
- 由实数理论, 我们知道 ∀a>0,n∈N,∃唯一的x>0(xn=a). 用 x=a1/n 表示数 a 的 n 次方根. 这一记法保留了指数的加法规则. 于是我们可以进一步定义 am/n(m,n∈N). 即对于 r∈Q 定义了 ar.
- 由归纳原理, 可以验证 ∀x>0,y>0,n∈N 时有 (x<y)⇔(xn<yn) 和 (x=y)⇔(xn=yn).
- 由此我们可以证明有理指数的运算法则, 并得到 ∀r1,r2∈Q,ar1⋅ar2=ar1+r2.
- 由 4. 知 r1,r2∈Q,(r1<r2)⇔(ar1<ar2).