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指数函数, 对数函数以及幂函数的定义

指数函数, 对数函数以及幂函数的定义

这里, 我们利用实数理论以及极限理论来完整的定义指数函数, 对数函数以及幂函数的定义.

指数函数 a^x

a>1.

  1. 对于 n\in \mathbb{N}, 归纳的定义 a^1 = a, a^{n+1}=a^n\cdot a^1, 这样我们就在 \mathbb{N} 上定义了函数 a^n, 同时可以看出, 函数具有性质a^m/a^n = a^{m-n}(m,n\in \mathbb{N}, m>n).
  2. 由上面这个性质, 我们可以自然的定义 a^0: = 1, a^{-n} = 1/a^n . 于是, a^n 的定义自然的拓展到了整数集 \mathbb{Z} 上. \forall n,m\in \mathbb{Z}, a^n\cdot a^m = a^{n+m}.
  3. 由实数理论, 我们知道 \forall a> 0, n\in\mathbb{N},\exists \text{唯一的}x>0 (x^n = a). 用 x = a^{1/n} 表示数 an 次方根. 这一记法保留了指数的加法规则. 于是我们可以进一步定义 a^{m/n}(m,n\in\mathbb{N}). 即对于 r\in\mathbb{Q} 定义了 a^r.
  4. 由归纳原理, 可以验证 \forall x>0, y>0, n\in\mathbb{N} 时有 (x< y)\Leftrightarrow(x^n< y^n)(x= y)\Leftrightarrow(x^n= y^n).
  5. 由此我们可以证明有理指数的运算法则, 并得到 \forall r_1,r_2\in \mathbb{Q}, a^{r_1}\cdot a^{r^2} = a^{r_1+r_2}.
  6. 由 4. 知 r_1,r_2\in \mathbb{Q}, (r_1<r_2)\Leftrightarrow (a^{r_1}< a^{r^2}).
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