指数函数, 对数函数以及幂函数的定义

指数函数, 对数函数以及幂函数的定义

这里, 我们利用实数理论以及极限理论来完整的定义指数函数, 对数函数以及幂函数的定义.

指数函数 ax

a>1.

  1. 对于 nN, 归纳的定义 a1=a,an+1=ana1, 这样我们就在 N 上定义了函数 an, 同时可以看出, 函数具有性质am/an=amn(m,nN,m>n).
  2. 由上面这个性质, 我们可以自然的定义 a0:=1,an=1/an. 于是, an 的定义自然的拓展到了整数集 Z 上. n,mZ,anam=an+m.
  3. 由实数理论, 我们知道 a>0,nN,唯一的x>0(xn=a). 用 x=a1/n 表示数 an 次方根. 这一记法保留了指数的加法规则. 于是我们可以进一步定义 am/n(m,nN). 即对于 rQ 定义了 ar.
  4. 由归纳原理, 可以验证 x>0,y>0,nN 时有 (x<y)(xn<yn)(x=y)(xn=yn).
  5. 由此我们可以证明有理指数的运算法则, 并得到 r1,r2Q,ar1ar2=ar1+r2.
  6. 由 4. 知 r1,r2Q,(r1<r2)(ar1<ar2).
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