【习题来源】数学分析：第七版.（俄罗斯）卓里奇著；李植译. 北京：高等教育出版社，2019.2

1. 请研究下列级数当实参数 $\alpha$ 取各种值时在集合 $E\subset\mathbb{R}$ 上的收敛性.
   a) $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos nx}{n^\alpha};$$
   b) $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n^\alpha}.$$

【解】 显然, 上述两个级数在 $\alpha\leqslant 0$ 时不收敛, 在 $\alpha > 1$ 时绝对一致收敛(强函数检验法). 考虑在 $0< \alpha \leqslant 1$ 时的情况.

【习题来源】数学分析：第七版.（俄罗斯）卓里奇著；李植译. 北京：高等教育出版社，2019.2

1. 以下函数序列是否一致收敛?
   a) $$f_n = \frac{\sin{nx}}{x^2}$$
   b) $$f_n = 2(n+1)x(1-x^2)^n$$
   c) $$f_n = \lim_{n\rightarrow\infty}(\cos m!\pi x)^{2n}$$

【解】 考察 $\Delta _n := \sup _{x\in E}|f(x) - f_n(x)|$ 在 $n\rightarrow \infty$ 时的情况即可. 容易得到 a) 一致收敛, b)、c) 不一致收敛. Q.E.D.