经典等周问题的复分析证明

关于等周不等式的历史

直接引用文献中对于等周问题的介绍：

最早的几何不等式应该是著名的等周不等式, 该不等式具有悠久的历史. 等周问题最早由著名数学家 Joham Beynoulli 在 1679 年提出, 从等周定理的提出到现在, 人们关于等周问题的研究讨论从未停止过, 研究成果不断的推陈出新, 使得等周型不等式的研究领域欣欣向荣, 可以说等周定理是数学史上被证明次数最多的定理之一…

从实用性的角度来看, 在数学家正式提出等周定理之前, 人类乃至动物界已经在不自觉地使用这个定理了, 比如：人们使用定长的绳子圈地的过程中, 当绳子以圆形的方式圈地时, 得到的土地面积最大; 在寒冷的冬季, 人类或者动物会缩成一团, 为的就是在体积一定的情况下, 尽量缩小自己的表面积, 减小热量的损失；在物理中, 等周不等式问题和跟所谓的最小作用量有关, 一个直观的表现就是水珠的形状, 在没有外力的情况下(如失重的太空舱里), 水珠的形状是完全对称的球体, 这是因为当水珠体积一定时, 表面张力会迫使水珠的表面积达到最小值, 根据等周不等式的原理, 最小值在水珠形状为球状时达到…

等周不等式的一个经典的证明是利用变分方法, 本文中介绍由复分析, 调和分析领域著名数学家 Carleman 给出的复分析证明. 由此出发, 也引出了一系列函数空间理论上的问题之研究.

经典的等周不等式

对于任意的 Jordan 型区域 $\Omega$, 有
$$4\pi A(\Omega)\leqslant L(\partial \Omega)^2,$$
其中, $A(\Omega)$ 表示由平面 Jordan 型区域 $\Omega$ 的面积, 而 $L(\partial \Omega)$ 是该区域的边界 $\partial \Omega$ 的长度. 该式等号成立当且仅当 $\Omega$ 是一个圆.

Carleman 的证明

在介绍证明之前, 先介绍两个经典的解析函数空间.

Defn. 对于 $0<p<\infty$, 定义单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上满足以下条件的全体解析函数 $f$ 构成的函数空间称为 Hardy 空间, 记为 $H^p$:

$$|f|_{H^p} = \sup_{r\in (0,1)}\left\{ \int_0^{2\pi}|f(re^{i\theta})|^p \frac{d\theta}{2\pi} \right\}<\infty.$$

Defn. 对于 $0<p<\infty$, 定义单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上满足以下条件的全体解析函数 $f$ 构成的函数空间称为 Bergman 空间, 记为 $A^p$:

$$|f|_{A^p} = \left\{ \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}|f(z)|^p dxdy \right\}<\infty.$$

这两个空间在相应的范数下都构成 Banach 空间.

Carleman 在其 1921 年发表的论文 Zur Theorie der Minimalflächen (Math. Z. 9, 154–160) 中证明了以下 Carleman 不等式:

Carleman 不等式.
$$|f|_{A^{2p}}\leqslant |f|_{H^p},$$
其中等号成立当且仅当 $f$ 具有形式
$$f(z) = const\cdot\left(\frac{1}{1-\lambda z}\right)^{2/p}, ~~~~\lambda\in \mathbb{D}.$$

有以上准备后, 我们可以很容易的给出经典等周不等式的证明如下:

证明. 由复分析中经典的 Riemann 映射定理(任意的单连通区域都共形等价于单位圆盘.), 存在一个单位圆盘 $\mathbb{D}$ 到Jordan 型区域 $\Omega$ 的共形映射 $F$. 于是
$$\begin{eqnarray}
L(\partial \Omega) = \lim_{r\rightarrow 1} L(F({|z|=r}))\\
= \lim_{r\rightarrow 1} r \int_0^{2\pi}|F’(re^{i\theta})|^p d\theta = 2\pi |F’|_{H^1}
\end{eqnarray}$$

另一方面,
$$A(\Omega) = \int_0^{2\pi}|F’(z)|^p dxdy = \pi|F’|^2_{A^2}.$$

故而, 由 Carleman 不等式立刻得到
$$|F’|^2_{A^2}\leqslant 2|F’|_{H^1}.$$

上式中等号成立当且仅当
$$F’(z) = const\cdot\left(\frac{1}{1-\lambda z}\right), \lambda\in \mathbb{D}.$$
而这说明, $F$ 必定是一个分式线性变换. 而分式线性变换的性质之一, 就是将圆映射到圆或者上半平面, 所以等号成立时 $\Omega = F(\mathbb{D})$ 必然也是一个圆.

提一句: 收缩猜想(Contractivity conjecture)

上述证明中的关键在于 Carleman 不等式, 该不等式在 1987 年由 Burbea 在论文 Sharp inequalities for holomorphic functions (Illinois J.
Math. 31, no. 2, 248-264) 中推广到 加权 Bergman 空间上. 而进一步的, 可以提出一系列自然的问题: 关于更一般的权指数, 或者空间, 类似的不等式是否成立. 这些猜想是目前函数空间理论中正在持续被研究的很有趣的问题.